Determine, se possível, x in R para que a matriz
(ccc 0 & 2 x & 1 x^2 & 0 & -4 x x+1 & x^3 & 0 )
seja:
Anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 2x & 1 x^2 & 0 & -4x x+1 & x^3 & 0
e pede os xinR tais que A seja anti-simétrica.
Para isso lembramos que uma matriz A é anti-simétrica se, e somente se,
  1. todas as entradas da diagonal são zero (já satisfeito aqui), e
  2. para todo ineq j vale
aij = -,aji

Passo 2

Aplicamos a condição a12 = -,a21. Aqui
a12 = 2x e a21 = x^2,
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2x = -,x^2 Longrightarrow x^2 + 2x = 0 Longrightarrow x(x+2)=0
que dá
x = 0 ou x = -2

Passo 3

Aplicamos a condição a13 = -,a31. Aqui
a13 = 1 e a31 = x+1,
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1 = -,(x+1) Longrightarrow 1 = -x - 1 Longrightarrow x + 2 = 0 Longrightarrow x = -2

Passo 4

Aplicamos a condição a23 = -,a32. Aqui
a23 = -4x e a32 = x^3,
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-4x = -,x^3 Longrightarrow x^3 - 4x = 0 Longrightarrow x(x^2 - 4)=0 Longrightarrow x = 0,;2,;ou;-2

Passo 5

Agora intersectamos as soluções obtidas em cada condição:
0,,-2;cap;-2;cap;0,,2,,-2 ;=;-2
Portanto, o único valor real que satisfaz todas as condições é x=-2.

Resposta

x = -2

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