Determine, se possível, x in R para que a matriz
(ccc 0 & 2 x & 1 x^2 & 0 & -4 x x+1 & x^3 & 0 )
seja:
Simétrica.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos xinR de modo que a matriz
A = 0 & 2x & 1 x^2 & 0 & -4x x+1 & x^3 & 0
seja simétrica. Para isso usamos a propriedade básica de matriz simétrica:
A = A^T,
isto é, cada elemento fora da diagonal deve coincidir com o seu simétrico.

Passo 2

Igualamos as entradas correspondentes:
  1. Da posição (1,2) em A e (2,1) em A^T:
2x = x^2
  1. Da posição (1,3) em A e (3,1) em A^T:
1 = x + 1
  1. Da posição (2,3) em A e (3,2) em A^T:
-4x = x^3

Passo 3

Resolvendo a equação mais simples, a do passo 2.2:
1 = x + 1 Longrightarrow x = 0

Passo 4

Verificamos x=0 nas outras duas equações:
  • Em 2x = x^2 fica 0 = 0, ok.
  • Em -4x = x^3 fica 0 = 0, ok.
    Logo, a única solução real comum a todas as três condições é x=0.

Resposta

x = 0

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