Considere as seguintes matrizes:
A=(cc1 & 2 3 & -4), B=(cc5 & 0 -6 & 7), C=(ccc1 & -3 & 4 2 & 6 & -5), D=(ll1 & 2 3 & 4), E=(cc5 & 4 6 & 11)
Mostre que as matrizes D e E comutam (isto é, DE=ED) e A e B não comutam (isto é, AB neq BA).

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=1 & 23 & -4, B=5 & 0-6 & 7, C=1 & -3 & 42 & 6 & -5, D=1 & 23 & 4, E=5 & 46 & 11
Ele pede para mostrar que D e E comutam (isto é, DE=ED) e que A e B não comutam (isto é, ABneq BA). Para isso bastará calcular os produtos matriciais e comparar.

Passo 2

Calcular DE e ED.
Como
D=1 & 23 & 4, E=5 & 46 & 11,
temos
DE = 1cdot5+2cdot6 & 1cdot4+2cdot11[6pt] 3cdot5+4cdot6 & 3cdot4+4cdot11 =17 & 2639 & 52,
ED = 5cdot1+4cdot3 & 5cdot2+4cdot4[6pt] 6cdot1+11cdot3 & 6cdot2+11cdot4 =17 & 2639 & 52
Portanto
DE=ED,
logo D e E comutam.]

Passo 3

Calcular AB e BA.
Como
A=1 & 23 & -4, B=5 & 0-6 & 7,
segue
AB = 1cdot5+2cdot(-6) & 1cdot0+2cdot7[6pt] 3cdot5+(-4)cdot(-6) & 3cdot0+(-4)cdot7 =-7 & 1439 & -28,
BA = 5cdot1+0cdot3 & 5cdot2+0cdot(-4)[6pt] -6cdot1+7cdot3 & -6cdot2+7cdot(-4) =5 & 1015 & -40
Como
AB=-7 & 1439 & -28 neq 5 & 1015 & -40 =BA,
concluímos que A e B não comutam.]

Resposta

D e E comutam ( DE=ED) e A e B não comutam ( ABneq BA).

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