Sejam
e
LI e base de
. Mostre para qualquer outro vetor
torna o conjunto
LD.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são linearmente independentes e formam uma base de um espaço vetorial
de dimensão 2. Queremos mostrar que, dado qualquer vetor
, o conjunto
é linearmente dependente. Para isso vamos usar a definição de base (todo vetor do espaço é combinação linear dos vetores da base) e a definição de dependência linear (existe combinação linear não trivial que dá o vetor zero).
Passo 2
Como
é base de
,
pertence ao seu span. Logo existem escalares
tais que
Passo 3
Reescrevendo essa igualdade em forma de combinação linear que dá o vetor zero, temos
Aqui os coeficientes não são todos zero (o coeficiente de
é
), logo exibimos uma relação linear não trivial que anula o conjunto
. Isso prova que ele é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.