Sejam v e u LI e base de V^2. Mostre para qualquer outro vetor w torna o conjunto v, u, w LD.

Passo 1

O enunciado diz que vec v e vec u são linearmente independentes e formam uma base de um espaço vetorial V^2 de dimensão 2. Queremos mostrar que, dado qualquer vetor vec win V^2, o conjunto vec v,vec u,vec w é linearmente dependente. Para isso vamos usar a definição de base (todo vetor do espaço é combinação linear dos vetores da base) e a definição de dependência linear (existe combinação linear não trivial que dá o vetor zero).

Passo 2

Como vec v,vec u é base de V^2, vec w pertence ao seu span. Logo existem escalares a,bin R tais que
vec w = a,vec v + b,vec u

Passo 3

Reescrevendo essa igualdade em forma de combinação linear que dá o vetor zero, temos
(-a),vec v + (-b),vec u + 1;vec w = vec 0
Aqui os coeficientes não são todos zero (o coeficiente de vec w é 1neq0), logo exibimos uma relação linear não trivial que anula o conjunto vec v,vec u,vec w. Isso prova que ele é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto vec v,vec u,vec w é linearmente dependente.

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