Determine, quando possível, a transformada de Laplace das funções abaixo.
f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } t \in[0,1] ; \\\\ 1, & \text { se } t \in(1, \infty) .\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece uma função f definida por partes e pede a transformada de Laplace quando for possível. As informações dadas são:
  • Para t\in[0,1] temos f(t)=0.
  • Para t\in(1,\infty) temos f(t)=1.
    O que o enunciado pede explicitamente:
  • Calcular \mathcal{L}\{f\}(s), isto é, encontrar a transformada de Laplace de f(t) e indicar para quais valores de s essa transformada é definida (região de convergência).

Passo 2

Vou recordar a definição da transformada de Laplace e o que significa existir:
A transformada de Laplace de uma função f é a função de s definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui s é, em geral, um número complexo e a integral existe (a transformada está definida) quando a integral imprópria converge, isto é, quando o limite
\lim_{T\to\infty}\int_{0}^{T} e^{-s t}\,f(t)\,dt
existe (normalmente entendendo-se convergência absoluta ou pelo menos condicionalmente com \Re(s) adequado). Em termos práticos, se o integrando decai suficientemente rápido como t\to\infty, a integral converge.

Passo 3

Usando a definição da função f, observo que em t\in[0,1] a função vale 0. Portanto a contribuição do intervalo [0,1] para a integral é zero. Assim a integral de 0 até \infty reduz-se à integral de 1 de 1 até \infty. Escrevendo isso:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt =\int_{0}^{1} e^{-s t}\cdot 0\,dt+\int_{1}^{\infty} e^{-s t}\cdot 1\,dt =\int_{1}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Obs.: o valor que f tem exatamente em t=1 não altera o valor da integral (um ponto isolado não muda o valor da integral imprópria).

Passo 4

Agora calculo a integral \displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{-s t}\,dt passo a passo.
Primeiro a primitiva de e^{-s t} em t (para s\neq 0) é -\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Então, para um limite superior T,
\int_{1}^{T} e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{t=1}^{t=T} = -\frac{1}{s}e^{-s T} + \frac{1}{s}e^{-s\cdot 1}.
Agora tomo o limite T\to\infty. A expressão \,e^{-s T} tende a 0 quando \Re(s)>0 (porque então |e^{-sT}|=e^{-\Re(s)\,T}\to0). Assim, para \Re(s)>0,
\lim_{T\to\infty}\int_{1}^{T} e^{-s t}\,dt = 0 + \frac{1}{s}e^{-s} = \frac{e^{-s}}{s}.
Portanto, integrando explicitamente, obtemos
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-s}}{s},\qquad \text{para } \Re(s)>0.

Passo 5

Justifico a condição \Re(s)>0 e explico por que para outros s a integral diverge:
  • Se \Re(s)=0 (por exemplo s=0), a integral fica \int_{1}^{\infty} 1\,dt, que diverge para +\infty.
  • Se \Re(s)<0, então |e^{-s t}|=e^{-\Re(s)\,t}=e^{|\Re(s)|\,t} cresce exponencialmente com t, logo a integral diverge.
    Assim a transformada existe exatamente quando \Re(s)>0.

Passo 6

Uma interpretação alternativa, que ajuda a lembrar a resposta na prova: a função dada é a função degrau de Heaviside deslocada de 1, isto é, f(t)=u(t-1) (ignorando o valor no ponto t=1). Há uma propriedade padrão:
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s},\qquad \Re(s)>0,\; a\ge 0.
Aplicando com a=1 obtém-se imediatamente \mathcal{L}\{f\}(s)=e^{-s}/s, consistente com a integração direta.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-s}}{s},\quad \Re(s)>0

Exercícios relacionados