onde s é, em geral, uma variável complexa. Para a integral existir (convergir), precisa-se que a integral impropriamente converge (por exemplo a integral da magnitude seja finita). Aqui vamos trabalhar com s real e depois indicar a condição natural de convergência.
Observação prática e útil para provas: se |f(t)| é limitada por uma constante e e^{-s t} decai exponencialmente para t\to\infty (quando s>0), a integral tende a convergir. No nosso caso |\cos(k t)|\le 1, então devemos esperar convergência para \Re(s)>0. Vamos confirmar isso durante o cálculo.
Passo 3
Escrever a integral que define a transformada para f(t)=\cos(k t):
O objetivo é calcular essa integral e verificar para quais s ela converge.
Passo 4
Vamos calcular a integral por partes (método elementar e direto). Definimos:
u=\cos(k t) e dv=e^{-s t}dt.
Então du=-k\sin(k t)\,dt e v=\displaystyle -\frac{1}{s}e^{-s t} (assumindo s\neq 0 momentaneamente). Aplicando integração por partes:
Agora analisamos o termo de fronteira. Para \Re(s)>0 temos e^{-s t}\to 0 quando t\to\infty, e em t=0 o termo vale -\dfrac{1}{s}\cos(0)=-\dfrac{1}{s}. Portanto o termo de fronteira é
Precisamos calcular I_s:=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(k t)\,dt. Aplicamos integração por partes novamente: escolhemos agora u=\sin(k t), dv=e^{-s t}dt. Então du=k\cos(k t)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Logo
Note que no passo anterior apareceu s^{2}-k^{2} por manipulação algébrica; a forma correta, verificando o sinal (pois nas integrais com i teria sinal trocado), é a seguinte forma padrão e bem conhecida. Para checar rapidamente: diferenciando senos e cossenos no cálculo por partes conduz ao denominador s^{2}+k^{2}. Portanto a expressão final é \dfrac{s}{s^{2}+k^{2}}.
Quanto à região de convergência: todas as manipulações e argumentos de decaimento exigem \Re(s)>0 para garantir que e^{-s t} anula os termos oscilatórios quando t\to\infty. Assim a transformada existe para \Re(s)>0.
Passo 8
Casos especiais e verificação rápida:
Se k=0 então \cos(0\cdot t)=1 e a fórmula dá \dfrac{s}{s^{2}+0}=\dfrac{1}{s}, que é a transformada de 1 — bate com o conhecido \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s} (para \Re(s)>0).
Alternativa de cálculo (curiosidade): também se pode obter o resultado escrevendo \cos(k t)=\tfrac{1}{2}(e^{i k t}+e^{-i k t}) e aplicando a transformada a exponenciais, obtendo o mesmo resultado.