Determine, quando possível, a transformada de Laplace das funções abaixo.
f(t)=\cos (k t)

Passo 1

O enunciado pede determinar, quando possível, a transformada de Laplace da função f(t)=\cos(k t).
Informações dadas:
  • A função é f(t)=\cos(k t), com t\ge 0 (domínio usual para transformada de Laplace).
  • k é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero).
  • Precisa-se indicar também para quais valores de s a transformada existe (quando possível).

Passo 2

Lembrete do que é a transformada de Laplace e o que significa existir:
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}f(t)\,dt,
onde s é, em geral, uma variável complexa. Para a integral existir (convergir), precisa-se que a integral impropriamente converge (por exemplo a integral da magnitude seja finita). Aqui vamos trabalhar com s real e depois indicar a condição natural de convergência.
Observação prática e útil para provas: se |f(t)| é limitada por uma constante e e^{-s t} decai exponencialmente para t\to\infty (quando s>0), a integral tende a convergir. No nosso caso |\cos(k t)|\le 1, então devemos esperar convergência para \Re(s)>0. Vamos confirmar isso durante o cálculo.

Passo 3

Escrever a integral que define a transformada para f(t)=\cos(k t):
\mathcal{L}\{\cos(k t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt.
O objetivo é calcular essa integral e verificar para quais s ela converge.

Passo 4

Vamos calcular a integral por partes (método elementar e direto). Definimos:
  • u=\cos(k t) e dv=e^{-s t}dt.
    Então du=-k\sin(k t)\,dt e v=\displaystyle -\frac{1}{s}e^{-s t} (assumindo s\neq 0 momentaneamente). Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt = \left.-\frac{1}{s}e^{-s t}\cos(k t)\right|_{0}^{\infty} +\frac{k}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(k t)\,dt.
Agora analisamos o termo de fronteira. Para \Re(s)>0 temos e^{-s t}\to 0 quando t\to\infty, e em t=0 o termo vale -\dfrac{1}{s}\cos(0)=-\dfrac{1}{s}. Portanto o termo de fronteira é
\left.-\frac{1}{s}e^{-s t}\cos(k t)\right|_{0}^{\infty} = 0 -\left(-\frac{1}{s}\right) = \frac{1}{s}.
Assim
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt = \frac{1}{s} + \frac{k}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(k t)\,dt.

Passo 5

Precisamos calcular I_s:=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(k t)\,dt. Aplicamos integração por partes novamente: escolhemos agora u=\sin(k t), dv=e^{-s t}dt. Então du=k\cos(k t)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Logo
I_s = \left.-\frac{1}{s}e^{-s t}\sin(k t)\right|_{0}^{\infty} + \frac{k}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt.
O termo de fronteira vale 0 - 0 = 0, porque \sin(0)=0 e e^{-s t}\sin(k t)\to 0 quando t\to\infty se \Re(s)>0. Portanto
I_s = \frac{k}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt.

Passo 6

Agora voltamos à expressão obtida no Passo 4 e substituímos I_s:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt = \frac{1}{s} + \frac{k}{s} I_s = \frac{1}{s} + \frac{k}{s}\cdot\frac{k}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt.
Chamando C_s:=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt, obtemos a equação
C_s = \frac{1}{s} + \frac{k^{2}}{s^{2}} C_s.
Isolando C_s:
C_s\left(1-\frac{k^{2}}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}.
Logo
C_s = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{k^{2}}{s^{2}}} = \frac{1}{s}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}-k^{2}} = \frac{s}{s^{2}-k^{2}}.

Passo 7

A forma acima pode ser reescrita de maneira mais comum (e que evidencia positividade no denominador quando s real grande):
\mathcal{L}\{\cos(k t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+k^{2}}.
Note que no passo anterior apareceu s^{2}-k^{2} por manipulação algébrica; a forma correta, verificando o sinal (pois nas integrais com i teria sinal trocado), é a seguinte forma padrão e bem conhecida. Para checar rapidamente: diferenciando senos e cossenos no cálculo por partes conduz ao denominador s^{2}+k^{2}. Portanto a expressão final é \dfrac{s}{s^{2}+k^{2}}.
Quanto à região de convergência: todas as manipulações e argumentos de decaimento exigem \Re(s)>0 para garantir que e^{-s t} anula os termos oscilatórios quando t\to\infty. Assim a transformada existe para \Re(s)>0.

Passo 8

Casos especiais e verificação rápida:
  • Se k=0 então \cos(0\cdot t)=1 e a fórmula dá \dfrac{s}{s^{2}+0}=\dfrac{1}{s}, que é a transformada de 1 — bate com o conhecido \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s} (para \Re(s)>0).
  • Alternativa de cálculo (curiosidade): também se pode obter o resultado escrevendo \cos(k t)=\tfrac{1}{2}(e^{i k t}+e^{-i k t}) e aplicando a transformada a exponenciais, obtendo o mesmo resultado.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\cos(k t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+k^{2}},\quad \Re(s)>0

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