Num paralelogramo, dois lados consecutivos medem 7 cm e 4 cm e a diagonal menor mede a raiz quadrada de 37, em cm. Calcule as medidas dos ángulos desse paralelogramo.
\begin{aligned} & a^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos (x) \\\ & \sqrt{37})^{2}=7^{2}+4^{2}-2(7)(4) \cos (\theta) \\\ & 37=49+16-56 \cos (\theta) \\\ & 37=65-56 \cos (\theta) \\\ & 56 \cos (\theta)=65-37 \\\ & 56 \cos (\theta)=28 \\\ & \cos (0)=\frac{28}{56}=0.5 \end{aligned} \quad 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as medidas dos ângulos de um paralelogramo, sabendo:
  • dois lados consecutivos medem 7\\ \text{cm} e 4\\ \text{cm};
  • a diagonal menor mede \sqrt{37}\\ \text{cm}.
    Pergunta: quais são as medidas dos ângulos desse paralelogramo?

Passo 2

Vou olhar para um dos vértices do paralelogramo e considerar o triângulo formado por dois lados consecutivos e a diagonal que os liga. Esse triângulo tem lados a, b e diagonal d, com a=7, b=4 e d=\sqrt{37}. A relação que liga esses comprimentos é a Lei dos Cossenos. Vou explicar a Lei dos Cossenos de um jeito simples:
  • Considere um triângulo qualquer com lados de comprimentos a e b que se encontram formando um ângulo \theta. A diagonal (ou lado oposto a \theta) tem comprimento d.
  • A Lei dos Cossenos diz que:
d^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta).
  • Nesta fórmula:
    • d é o comprimento do lado oposto ao ângulo \theta;
    • a e b são os comprimentos dos lados que formam o ângulo \theta;
    • \cos(\theta) é o cosseno do ângulo entre a e b.
  • Intuição rápida: se \theta é pequeno (ângulo agudo), \cos(\theta) é positivo e o termo -2ab\cos(\theta) reduz d^{2} — triângulo mais “fechado” dá diagonal menor. Se \theta é obtuso, \cos(\theta) é negativo e d^{2} aumenta.
No nosso caso usamos essa fórmula para relacionar \sqrt{37}, 7, 4 e o ângulo \theta entre os lados de comprimentos 7 e 4.

Passo 3

Agora aplico a Lei dos Cossenos com os números dados. Substituindo d=\sqrt{37}, a=7, b=4 na fórmula:
(\sqrt{37})^{2}=7^{2}+4^{2}-2\cdot7\cdot4\cos(\theta).
Calculo os termos passo a passo:
37 = 49 + 16 - 56\cos(\theta).
Somando 49+16:
37 = 65 - 56\cos(\theta).
Isolando o termo com \cos(\theta):
56\cos(\theta)=65-37.
56\cos(\theta)=28.
Dividindo por 56:
\cos(\theta)=\frac{28}{56}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora tenho \cos(\theta)=\tfrac{1}{2}. Preciso achar \theta. Conhecendo os valores trigonométricos clássicos (triângulo equilátero/triângulo de 30^\circ- 60^\circ- 90^\circ), sabemos que
\cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2}.
Portanto
\theta=60^\circ.
Interpretação: esse é o ângulo formado entre os dois lados de comprimentos 7 e 4 cujo triângulo resultou na diagonal menor \sqrt{37}. Em um paralelogramo:
  • ângulos opostos são congruentes (portanto há dois ângulos iguais a \theta);
  • ângulos consecutivos são suplementares (somam 180^\circ).
Assim o outro ângulo adjacente mede
180^\circ-60^\circ=120^\circ.
Logo o paralelogramo tem dois ângulos de 60^\circ e dois de 120^\circ.

Resposta

60^\circ
120^\circ

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