Num paralelogramo, dois lados consecutivos medem 7 cm e 4 cm e a diagonal menor mede a raiz quadrada de 37, em cm. Calcule as medidas dos ángulos desse paralelogramo.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as medidas dos ângulos de um paralelogramo, sabendo:
- dois lados consecutivos medem
e ; - a diagonal menor mede
.
Pergunta: quais são as medidas dos ângulos desse paralelogramo?
Passo 2
Vou olhar para um dos vértices do paralelogramo e considerar o triângulo formado por dois lados consecutivos e a diagonal que os liga. Esse triângulo tem lados
,
e diagonal
, com
,
e
. A relação que liga esses comprimentos é a Lei dos Cossenos. Vou explicar a Lei dos Cossenos de um jeito simples:
- Considere um triângulo qualquer com lados de comprimentos
e que se encontram formando um ângulo . A diagonal (ou lado oposto a ) tem comprimento . - A Lei dos Cossenos diz que:
- Nesta fórmula:
-
é o comprimento do lado oposto ao ângulo ; -
e são os comprimentos dos lados que formam o ângulo ; -
é o cosseno do ângulo entre e .
-
- Intuição rápida: se
é pequeno (ângulo agudo), é positivo e o termo reduz — triângulo mais “fechado” dá diagonal menor. Se é obtuso, é negativo e aumenta.
No nosso caso usamos essa fórmula para relacionar
,
,
e o ângulo
entre os lados de comprimentos
e
.
Passo 3
Agora aplico a Lei dos Cossenos com os números dados. Substituindo
,
,
na fórmula:
Calculo os termos passo a passo:
Somando
:
Isolando o termo com
:
Dividindo por
:
Passo 4
Agora tenho
. Preciso achar
. Conhecendo os valores trigonométricos clássicos (triângulo equilátero/triângulo de
-
-
), sabemos que
Portanto
Interpretação: esse é o ângulo formado entre os dois lados de comprimentos
e
cujo triângulo resultou na diagonal menor
. Em um paralelogramo:
- ângulos opostos são congruentes (portanto há dois ângulos iguais a
); - ângulos consecutivos são suplementares (somam
).
Assim o outro ângulo adjacente mede
Logo o paralelogramo tem dois ângulos de
e dois de
.