Determine, quando possível, a transformada de Laplace das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, quando possível, a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- A função é
, com . -
é uma constante real (frequência); será a variável complexa da transformada de Laplace. - É preciso indicar também em que região de
a transformada converge (ou seja, “quando possível”).
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e explicação dos termos usada neste problema.
A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde:
-
é a variável do domínio temporal ( ); -
é, em geral, uma variável complexa ; - a integral converge (existe) quando a parte real de
for suficientemente grande para fazer o fator anular a oscilação/ crescimento de quando .
No nosso caso
. Então precisamos calcular
determinando também a condição em
que garante convergência.
Passo 3
Expressão de
como combinação de exponenciais complexas (identidade útil e simples de provar).
Usa-se a identidade
Substituindo isso na integral da transformada:
Passo 4
Avaliação das integrais exponenciais e condição de convergência.
Para uma constante
com
vale a integral geométrica
No nosso caso as duas integrais convergem se
. Logo a condição de convergência é
.
Aplicando a fórmula às duas integrais:
válido para
.
Passo 5
Simplificação algébrica final.
Substituindo os resultados no passo anterior:
Colocando as frações sobre o mesmo denominador
:
Portanto, para
obtemos a forma simples e clássica.
Observação rápida: se
então
e a transformada é
, o que coincide com a fórmula
.
Passo 6
Dica prática para prova (maneira alternativa, sem usar números complexos): usar integração por partes duas vezes no integral
e resolver o sistema que liga a integral de
com a de
. O procedimento dá o mesmo resultado, mas é mais longo; a representação com exponenciais complexas é mais curta e segura para este tipo de integral.