Simplifique cada expressão de z de modo a apresentar seu resultado na forma z=x+y i(\operatorname{com} x, y \in \mathbb{R} ou na forma z=r[\cos (\theta)+i \operatorname{sen}(\theta)] (\operatorname{com} r>0 e \theta \in[0,2 \pi))
z=(\overline{(-\sqrt{3}+i})^{-1}(-2+2 i)^{3}

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). A expressão é
z=(\overline{(-\sqrt{3}+i)})^{-1}(-2+2i)^{3}.
O enunciado pede para simplificar z e apresentar o resultado na forma retangular z=x+yi (com x,y\in\mathbb{R}) ou na forma polar z=r[\cos(\theta)+i\operatorname{sen}(\theta)] (com r>0 e \theta\in[0,2\pi)).
Informações relevantes dadas:
  • O conjugado de -\sqrt{3}+i é \overline{(-\sqrt{3}+i)}.
  • Há uma potência complexa (-2+2i)^{3}.
  • Há uma inversa multiplicativa do conjugado: (\overline{(-\sqrt{3}+i)})^{-1}.

Passo 2

Calcular o conjugado e sua inversa (aulas rápidas sobre o que é e como calcular).
  • Definição: o conjugado de um número complexo a+bi é a-bi. Aqui, pegamos o dado do enunciado: o número é -\sqrt{3}+i. Então o conjugado é
\overline{(-\sqrt{3}+i)} = -\sqrt{3}-i.
  • Inversa multiplicativa de um complexo: se w=a+bi (com a,b\in\mathbb{R} e w\neq0), então
w^{-1}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^{2}+b^{2}}.
Aplicando a fórmula para w=-\sqrt{3}-i (aqui a=-\sqrt{3},\,b=-1):
(\overline{(-\sqrt{3}+i)})^{-1}=\frac{1}{-\sqrt{3}-i}.
Vou usar essa forma direta para multiplicar depois; também poderia racionalizar imediatamente usando o conjugado do denominador.

Passo 3

Calcular (-2+2i)^{3} (aulas rápidas sobre potências e De Moivre).
Primeiro fatorar 2:
-2+2i=2(-1+i).
Portanto
(-2+2i)^{3}=2^{3}(-1+i)^{3}=8(-1+i)^{3}.
Agora convém acessar a forma polar de -1+i para aplicar De Moivre de forma limpa.
  • Módulo de -1+i:
|{-1+i}|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • Argumento de -1+i: o ponto (-1,1) está no quadrante II; o ângulo com o eixo positivo é \pi-\pi/4=3\pi/4. Logo
-1+i=\sqrt{2}\bigl[\cos(3\pi/4)+i\operatorname{sen}(3\pi/4)\bigr].
Aplicando De Moivre para o terceiro poder:
(-1+i)^{3}=(\sqrt{2})^{3}\bigl[\cos(3\cdot 3\pi/4)+i\operatorname{sen}(3\cdot 3\pi/4)\bigr] =2\sqrt{2}\bigl[\cos(9\pi/4)+i\operatorname{sen}(9\pi/4)\bigr].
Como \cos(9\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \operatorname{sen}(9\pi/4)=\operatorname{sen}(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
(-1+i)^{3}=2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2+2i.
Portanto
(-2+2i)^{3}=8(2+2i)=16+16i.

Passo 4

Multiplicar a inversa do conjugado pelo resultado da potência e racionalizar (passos algébricos explícitos).
A expressão fica
z=\frac{1}{-\sqrt{3}-i}\,(16+16i).
Fatorando 16:
z=16\cdot\frac{1+i}{-\sqrt{3}-i}.
Racionalizo o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador -\sqrt{3}+i:
z=16\cdot\frac{(1+i)(-\sqrt{3}+i)}{(-\sqrt{3}-i)(-\sqrt{3}+i)}.
Calculo o denominador usando (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}:
(-\sqrt{3}-i)(-\sqrt{3}+i)=(-\sqrt{3})^{2}-i^{2}=3-(-1)=4.
Logo
z=16\cdot\frac{(1+i)(-\sqrt{3}+i)}{4}=4(1+i)(-\sqrt{3}+i).
Agora expandir o produto no numerador:
(1+i)(-\sqrt{3}+i)= -\sqrt{3}+i -i\sqrt{3}+i^{2}= -\sqrt{3}+i -i\sqrt{3}-1.
Agrupando parte real e imaginária:
(1+i)(-\sqrt{3}+i)=(-\sqrt{3}-1)+(1-\sqrt{3})i.
Multiplicando por 4:
z=4(-\sqrt{3}-1)+4(1-\sqrt{3})i.
Portanto a forma retangular (com x,y reais) é
z=(-4\sqrt{3}-4)+(4-4\sqrt{3})i.

Passo 5

Calcular o módulo r e o argumento \theta para escrever z na forma polar (aula curta sobre módulo e argumento).
Da forma retangular temos x=-4\sqrt{3}-4 e y=4-4\sqrt{3}.
  • Módulo:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=4\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}+(1-\sqrt{3})^{2}}.
Calculo interno:
(\sqrt{3}+1)^{2}=4+2\sqrt{3},\qquad (1-\sqrt{3})^{2}=4-2\sqrt{3},
somando:
(\sqrt{3}+1)^{2}+(1-\sqrt{3})^{2}=8.
Logo
r=4\sqrt{8}=4\cdot 2\sqrt{2}=8\sqrt{2}.
  • Argumento: \theta satisfaz \cos\theta=\dfrac{x}{r} e \operatorname{sen}\theta=\dfrac{y}{r}. Calculando a razão tangente é mais prático:
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{4(1-\sqrt{3})}{-4(\sqrt{3}+1)}=\frac{1-\sqrt{3}}{-(\sqrt{3}+1)}.
Simplificando os sinais:
\tan\theta=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.
Transformando essa fração:
\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}.
Conhecimento útil: \tan(\pi/12)=2-\sqrt{3} (isto é, \tan 15^\circ=2-\sqrt{3}). Assim a razão tangente vale \tan\alpha com \alpha=\pi/12. Agora observar o sinal de x e y: ambos são negativos (porque -4\sqrt{3}-4<0 e 4-4\sqrt{3}<0), então z está no terceiro quadrante. No terceiro quadrante o argumento é \theta=\pi+\alpha. Portanto
\theta=\pi+\frac{\pi}{12}=\frac{13\pi}{12}.
Verificação rápida dos sinais: \cos(13\pi/12)<0 e \operatorname{sen}(13\pi/12)<0, coerente com x<0,y<0.
Assim a forma polar é
z=8\sqrt{2}\bigl[\cos\bigl(\tfrac{13\pi}{12}\bigr)+i\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{13\pi}{12}\bigr)\bigr].

Resposta

z=(-4\sqrt{3}-4)+(4-4\sqrt{3})i
z=8\sqrt{2}\bigl[\cos\bigl(\tfrac{13\pi}{12}\bigr)+i\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{13\pi}{12}\bigr)\bigr]

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