Simplifique cada expressão de z de modo a apresentar seu resultado na forma z=x+y i(\operatorname{com} x, y \in \mathbb{R} ou na forma z=r[\cos (\theta)+i \operatorname{sen}(\theta)] (\operatorname{com} r>0 e \theta \in[0,2 \pi)) z=(\overline{(-\sqrt{3}+i})^{-1}(-2+2 i)^{3}
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). A expressão é
z=(\overline{(-\sqrt{3}+i)})^{-1}(-2+2i)^{3}.
O enunciado pede para simplificar z e apresentar o resultado na forma retangular z=x+yi (com x,y\in\mathbb{R}) ou na forma polar z=r[\cos(\theta)+i\operatorname{sen}(\theta)] (com r>0 e \theta\in[0,2\pi)).
Informações relevantes dadas:
O conjugado de -\sqrt{3}+i é \overline{(-\sqrt{3}+i)}.
Há uma potência complexa (-2+2i)^{3}.
Há uma inversa multiplicativa do conjugado: (\overline{(-\sqrt{3}+i)})^{-1}.
Passo 2
Calcular o conjugado e sua inversa (aulas rápidas sobre o que é e como calcular).
Definição: o conjugado de um número complexo a+bi é a-bi. Aqui, pegamos o dado do enunciado: o número é -\sqrt{3}+i. Então o conjugado é
\overline{(-\sqrt{3}+i)} = -\sqrt{3}-i.
Inversa multiplicativa de um complexo: se w=a+bi (com a,b\in\mathbb{R} e w\neq0), então
w^{-1}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^{2}+b^{2}}.
Aplicando a fórmula para w=-\sqrt{3}-i (aqui a=-\sqrt{3},\,b=-1):
Calcular o módulo r e o argumento \theta para escrever z na forma polar (aula curta sobre módulo e argumento).
Da forma retangular temos x=-4\sqrt{3}-4 e y=4-4\sqrt{3}.
Conhecimento útil: \tan(\pi/12)=2-\sqrt{3} (isto é, \tan 15^\circ=2-\sqrt{3}). Assim a razão tangente vale \tan\alpha com \alpha=\pi/12. Agora observar o sinal de x e y: ambos são negativos (porque -4\sqrt{3}-4<0 e 4-4\sqrt{3}<0), então z está no terceiro quadrante. No terceiro quadrante o argumento é \theta=\pi+\alpha. Portanto
\theta=\pi+\frac{\pi}{12}=\frac{13\pi}{12}.
Verificação rápida dos sinais: \cos(13\pi/12)<0 e \operatorname{sen}(13\pi/12)<0, coerente com x<0,y<0.