Determine, quando possível, a transformada de Laplace das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
(presumivelmente definida para
) e pede para determinar, quando possível, a transformada de Laplace de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Precisa-se encontrar
, isto é, o valor da integral de Laplace e seu domínio de convergência em .
Passo 2
Simplificar
usando a definição de
. Lembrando que
logo
Essa forma é mais prática para calcular a transformada, pois é soma de funções simples.
Passo 3
Relembrando a definição da transformada de Laplace e uma propriedade fundamental (aula rápida):
desde que a integral convirja. A transformada é linear, isto é, para constantes
e funções
,
Usaremos linearidade aplicando a transformada a cada termo de
.
Passo 4
Calcular
. Primeiro calcule
:
desde que o limite
, o que exige
. Multiplicando por
,
Passo 5
Calcular
. Use a integral diretamente:
desde que
, ou seja
. Multiplicando por
,
Passo 6
Somar as duas contribuições usando linearidade:
Colocando em denominador comum e simplificando:
Passo 7
Determinar a região de convergência (ROC). Cada termo exigia:
-
exige . -
exige .
A interseção é. Portanto a transformada obtida converge para . Observação intuitiva: é limitada e de ordem exponencial , então é natural que a ROC seja .
Passo 8
Comentário sobre o método (por que fiz assim): foi usada a identidade exponencial de
para escrever
como soma de termos exponenciais simples, o que permite aplicar diretamente a definição da transformada e a linearidade. Esse caminho evita fórmulas mais “compactas” para
e é o mais direto em prova, pois usa integrais elementares e condições de convergência facilmente verificáveis.