Determine, quando possível, a transformada de Laplace das funções abaixo.
f(t)=\frac{\operatorname{cosh} (t)}{e^{t}}\

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=\dfrac{\operatorname{cosh}(t)}{e^{t}} (presumivelmente definida para t\ge0) e pede para determinar, quando possível, a transformada de Laplace de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(t)=\dfrac{\operatorname{cosh}(t)}{e^{t}}.
  • Precisa-se encontrar \mathcal{L}\{f\}(s), isto é, o valor da integral de Laplace e seu domínio de convergência em s.

Passo 2

Simplificar f(t) usando a definição de \operatorname{cosh}(t). Lembrando que
\operatorname{cosh}(t)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2},
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f(t)=\frac{\operatorname{cosh}(t)}{e^{t}}=\frac{1}{e^{t}}\cdot\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}=\frac{1+e^{-2t}}{2}.
Essa forma é mais prática para calcular a transformada, pois é soma de funções simples.

Passo 3

Relembrando a definição da transformada de Laplace e uma propriedade fundamental (aula rápida):
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt,
desde que a integral convirja. A transformada é linear, isto é, para constantes a,b e funções g,h,
\mathcal{L}\{a g + b h\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g\}(s)+b\,\mathcal{L}\{h\}(s).
Usaremos linearidade aplicando a transformada a cada termo de \dfrac{1+e^{-2t}}{2}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{1/2\}(s). Primeiro calcule \mathcal{L}\{1\}(s):
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s},
desde que o limite \lim_{t\to\infty}e^{-s t}=0, o que exige \Re(s)>0. Multiplicando por 1/2,
\mathcal{L}\{\tfrac{1}{2}\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{2s},\qquad \Re(s)>0.

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{\tfrac{1}{2}e^{-2t}\}(s). Use a integral diretamente:
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-2t}e^{-s t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt=\frac{1}{s+2},
desde que \Re(s+2)>0, ou seja \Re(s)>-2. Multiplicando por 1/2,
\mathcal{L}\{\tfrac{1}{2}e^{-2t}\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+2}=\frac{1}{2(s+2)},\qquad \Re(s)>-2.

Passo 6

Somar as duas contribuições usando linearidade:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{2s}+\frac{1}{2(s+2)}.
Colocando em denominador comum e simplificando:
\frac{1}{2s}+\frac{1}{2(s+2)}=\frac{(s+2)+s}{2s(s+2)}=\frac{2s+2}{2s(s+2)}=\frac{s+1}{s(s+2)}.

Passo 7

Determinar a região de convergência (ROC). Cada termo exigia:
  • \frac{1}{2s} exige \Re(s)>0.
  • \frac{1}{2(s+2)} exige \Re(s)>-2.
    A interseção é \Re(s)>0. Portanto a transformada obtida converge para \Re(s)>0. Observação intuitiva: f(t)=\tfrac{1+e^{-2t}}{2} é limitada e de ordem exponencial 0, então é natural que a ROC seja \Re(s)>0.

Passo 8

Comentário sobre o método (por que fiz assim): foi usada a identidade exponencial de \operatorname{cosh} para escrever f como soma de termos exponenciais simples, o que permite aplicar diretamente a definição da transformada e a linearidade. Esse caminho evita fórmulas mais “compactas” para \operatorname{cosh} e é o mais direto em prova, pois usa integrais elementares e condições de convergência facilmente verificáveis.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{s+1}{s(s+2)},\quad \Re(s)>0

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