QUESTÃO: Determine a função derivada das funções abaixo, e posteriormente, encontre, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto indicado.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e um ponto
:
- Função:
. - Ponto indicado:
.
O que é pedido:
- Determinar a função derivada
. - Encontrar, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Passo 2
Pequena revisão das regras de derivação que vamos usar (calma, vou mastigar):
- Regra do poder (power rule): a derivada de
é . Aqui é um número real (para inteiros é a forma usual).
Exemplo rápido: a derivada deé . - Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas:
- Constante multiplicativa:
para constante . - Derivada de constante:
.
Com isso, basta aplicar as regras termo a termo em
.
Passo 3
Calculando a derivada termo a termo:
- Derivada de
pela regra do poder: . - Derivada de
: é vezes a derivada de , e , logo . - Derivada de
(constante) é .
Somando:
Passo 4
Agora precisamos do declive (inclinação) da reta tangente no ponto
, isto é
com
.
Calcule:
Calcule:
Antes de seguir, sempre vale verificar que o ponto
realmente está no gráfico de
(se não estiver, não existe reta tangente ao gráfico passando por
neste sentido). Verificação:
que coincide com a ordenada do ponto
. Portanto
pertence ao gráfico e a reta tangente existe com inclinação
.
Passo 5
Equação da reta tangente usando a forma ponto-declive (point-slope):
com
e
. Substituindo:
Agora simplifico para a forma explícita
:
Resposta
A equação da reta tangente em