QUESTÃO: Determine a função derivada das funções abaixo, e posteriormente, encontre, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto indicado.
f(x)=x^{3}+2 x+1, \quad P=(3,34).

Passo 1

O enunciado dá a função f e um ponto P:
  • Função: f(x)=x^{3}+2x+1.
  • Ponto indicado: P=(3,34).
O que é pedido:
  1. Determinar a função derivada f'(x).
  2. Encontrar, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P.

Passo 2

Pequena revisão das regras de derivação que vamos usar (calma, vou mastigar):
  • Regra do poder (power rule): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Aqui n é um número real (para inteiros é a forma usual).
    Exemplo rápido: a derivada de \,x^{5}\, é \,5x^{4}.
  • Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas: \frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
  • Constante multiplicativa: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x) para constante c.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Com isso, basta aplicar as regras termo a termo em f(x)=x^{3}+2x+1.

Passo 3

Calculando a derivada termo a termo:
  • Derivada de \,x^{3}\, pela regra do poder: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • Derivada de \,2x\,: é 2 vezes a derivada de x, e \dfrac{d}{dx}(x)=1, logo \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
  • Derivada de \,1\, (constante) é 0.
Somando:
f'(x)=3x^{2}+2.

Passo 4

Agora precisamos do declive (inclinação) da reta tangente no ponto P, isto é m=f'(x_{0}) com x_{0}=3.
Calcule:
f'(3)=3\cdot 3^{2}+2=3\cdot 9+2=27+2=29.
Antes de seguir, sempre vale verificar que o ponto P realmente está no gráfico de f (se não estiver, não existe reta tangente ao gráfico passando por P neste sentido). Verificação:
f(3)=3^{3}+2\cdot 3+1=27+6+1=34,
que coincide com a ordenada do ponto P. Portanto P pertence ao gráfico e a reta tangente existe com inclinação m=29.

Passo 5

Equação da reta tangente usando a forma ponto-declive (point-slope):
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
com (x_{0},y_{0})=(3,34) e m=29. Substituindo:
y-34=29(x-3).
Agora simplifico para a forma explícita y=mx+b:
y-34=29x-87 \quad\Rightarrow\quad y=29x-87+34=29x-53.

Resposta

f'(x)=3x^{2}+2
A equação da reta tangente em P é y=29x-53

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