Simplifique cada expressão de z de modo a apresentar seu resultado na forma z=x+y i(\operatorname{com} x, y \in \mathbb{R} ou na forma z=r[\cos (\theta)+i \operatorname{sen}(\theta)] (\operatorname{com} r>0 e \theta \in[0,2 \pi))
z=\overline{\overline{(\pi+\sqrt{2} i)}(\sqrt{2}+2 i)}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
z=\overline{\overline{(\pi+\sqrt{2}\,i)}(\sqrt{2}+2\,i)}
e apresentar o resultado na forma retangular z=x+yi (com x,y\in\mathbb{R}) ou na forma polar z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)] (com r>0 e \theta\in[0,2\pi)).
Informações dadas que vamos usar: os números \pi e \sqrt{2} são reais; i é a unidade imaginária com i^2=-1.

Passo 2

Lembrete rápido e propriedades que vou usar (explicadinhas):
  • A conjugação complexa troca o sinal da parte imaginária. Para a,b\in\mathbb{R},
\overline{(a+bi)}=a-bi.
Isto é direto: a parte real permanece e a parte imaginária muda de sinal.
  • A conjugação respeita produto e dupla conjugação:
\overline{w_1 w_2}=\overline{w_1}\,\overline{w_2}, \qquad \overline{\overline{w}}=w.
Essas propriedades são úteis para simplificar expressões com conjugadas.

Passo 3

Calcular a conjugada interna:
\overline{(\pi+\sqrt{2}\,i)}=\pi-\sqrt{2}\,i.
Usei a regra \overline{a+bi}=a-bi com a=\pi e b=\sqrt{2}.

Passo 4

Multiplicar o resultado da conjugada interna por (\sqrt{2}+2\,i). Vou desenvolver passo a passo (distributiva):
(\pi-\sqrt{2}\,i)(\sqrt{2}+2\,i)
Aplicando a distributiva (cada termo do primeiro pelo segundo):
\begin{aligned} &\pi\cdot\sqrt{2} \quad\text{(real)}\\\ &\pi\cdot 2\,i = 2\pi\,i \quad\text{(imaginário)}\\\ &(-\sqrt{2}\,i)\cdot\sqrt{2} = -(\sqrt{2}\sqrt{2})\,i = -2\,i \quad\text{(imaginário)}\\\ &(-\sqrt{2}\,i)\cdot 2\,i = -2\sqrt{2}\,i^2 = -2\sqrt{2}(-1) = 2\sqrt{2} \quad\text{(real)} \end{aligned}áá
Agora somo as partes reais e as partes imaginárias:
  • parte real: \pi\sqrt{2}+2\sqrt{2}=\sqrt{2}(\pi+2),
  • parte imaginária: 2\pi\,i-2\,i=2(\pi-1)\,i.
Portanto
(\pi-\sqrt{2}\,i)(\sqrt{2}+2\,i)=\sqrt{2}(\pi+2)+2(\pi-1)\,i.

Passo 5

Agora aplico a conjugada externa:
z=\overline{\sqrt{2}(\pi+2)+2(\pi-1)\,i}.
Usando \overline{a+bi}=a-bi obtenho a forma retangular final:
z=\sqrt{2}(\pi+2)-2(\pi-1)\,i.
Essa é a forma z=x+yi com
x=\sqrt{2}(\pi+2),\qquad y=-2(\pi-1).

Passo 6

Agora vou obter a forma polar z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]. Primeiro o módulo r:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Calculo x^{2} e y^{2} claramente:
x^{2}=2(\pi+2)^{2}=2(\pi^{2}+4\pi+4)=2\pi^{2}+8\pi+8,
y^{2}=4(\pi-1)^{2}=4(\pi^{2}-2\pi+1)=4\pi^{2}-8\pi+4.
Somando:
x^{2}+y^{2}=(2\pi^{2}+8\pi+8)+(4\pi^{2}-8\pi+4)=6\pi^{2}+12.
Logo
r=\sqrt{6\pi^{2}+12}=\sqrt{6}\,\sqrt{\pi^{2}+2}.

Passo 7

Agora o argumento \theta. Calculo a tangente do ângulo (razão imag/real):
\frac{y}{x}=\frac{-2(\pi-1)}{\sqrt{2}(\pi+2)}=-\sqrt{2}\,\frac{\pi-1}{\pi+2}.
Observação do quadrante: x=\sqrt{2}(\pi+2)>0 (porque \pi+2>0) e y=-2(\pi-1)<0 (porque \pi-1>0), portanto o ponto está no quarto quadrante. Então o argumento \theta\in(3\pi/2,2\pi) e pode ser escrito como
\theta=2\pi-\arctan\!\left(\sqrt{2}\,\frac{\pi-1}{\pi+2}\right).
(Outra forma equivalente: \theta=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big)+2\pi, ajustando para ficar em [0,2\pi).)
Portanto a forma polar é
z=\sqrt{6\pi^{2}+12}\,\Big[\cos\!\big(\theta\big)+i\sin\!\big(\theta\big)\Big], \qquad \theta=2\pi-\arctan\!\left(\sqrt{2}\,\frac{\pi-1}{\pi+2}\right).

Resposta

z=\sqrt{2}(\pi+2)-2(\pi-1)\,i
z=\sqrt{6\pi^{2}+12}\left[\cos\!\left(2\pi-\arctan\!\left(\sqrt{2}\,\dfrac{\pi-1}{\pi+2}\right)\right)+i\sin\!\left(2\pi-\arctan\!\left(\sqrt{2}\,\dfrac{\pi-1}{\pi+2}\right)\right)\right]

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