O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio não constante com coeficientes complexos possui uma raiz (real ou complexa). Prove, como corolário, que todo polinômio P(x) de grau n possui n raízes, contadas as multiplicidades; e sendo \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} essas raízes, então P(x)=a\left(x-\alpha_{1}\right) \ldots\left(x-\alpha_{n}\right). Prove também que se o polinômio tem coeficientes reais, e se \alpha é uma raiz complexa, então \bar{\alpha} também é raiz.

Passo 1

O enunciado dá o Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio não constante com coeficientes complexos tem pelo menos uma raiz complexa.
Pede dois resultados como corolário:
  • Mostrar que todo polinômio P(x) de grau n possui exatamente n raízes, contadas as multiplicidades, e que se \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} são essas raízes então
P(x)=a\left(x-\alpha_{1}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right),
onde a é o coeficiente líder de P.
  • Mostrar que, se P tem coeficientes reais e \alpha é uma raiz complexa, então \overline{\alpha} também é raiz.
Informações relevantes dadas: P(x) é um polinômio de grau n com coeficientes em \mathbb{C} (no segundo item, em \mathbb{R}). O Teorema Fundamental da Álgebra garante existência de pelo menos uma raiz complexa para polinômios não constantes. Nesta prova será útil o teorema do resto / fator (se P(\alpha)=0 então (x-\alpha) divide P) e o algoritmo da divisão de polinômios (existem quociente e resto únicos).

Passo 2

Base do raciocínio e ideia geral (sem pular passos): vamos provar a fatoração por indução no grau n. A estratégia é esta:
  1. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra existe uma raiz \alpha de P.
  2. Pelo algoritmo da divisão, dividir P(x) por (x-\alpha) dá um quociente Q(x) e resto r com \deg r<1, ou seja r é constante. Avaliando em x=\alpha obtemos r=0, logo P(x)=(x-\alpha)Q(x).
  3. Repetir o processo em Q(x) (que tem grau n-1) e usar a hipótese de indução para obter a fatoração completa em n fatores lineares. Isso também explicará a contagem por multiplicidade e o papel do coeficiente líder a.
Antes de aplicar a indução, vamos verificar a base e explicar por que a divisão acima funciona e preserva o coeficiente líder.

Passo 3

Base da indução: grau n=1.
Se \deg P=1 então P(x)=ax+b com a\neq0. A única raiz é \alpha=-b/a e claramente
P(x)=a\bigl(x-\alpha\bigr).
Assim, a proposição é verdadeira para n=1.
Agora explicação do passo "se P(\alpha)=0 então (x-\alpha) divide P" (fator-teorema) com detalhes: pelo algoritmo da divisão de polinômios, para qualquer polinômio P e qualquer divisor monic linear (x-\alpha) existem únicos polinômio Q e constante r tais que
P(x)=(x-\alpha)Q(x)+r,
com \deg Q=\deg P-1 e \deg r<1 (portanto r é um número complexo). Avaliando em x=\alpha obtemos
P(\alpha)=(\alpha-\alpha)Q(\alpha)+r=r.
Se P(\alpha)=0 então r=0, logo
P(x)=(x-\alpha)Q(x),
ou seja (x-\alpha) divide P. Observação importante sobre o coeficiente líder: como (x-\alpha) tem coeficiente líder 1, o coeficiente líder de Q é igual ao coeficiente líder de P. Isso será usado na indução para manter o mesmo a.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que todo polinômio de grau menor que n pode ser escrito como a\prod (x-\beta_i) e tem tantas raízes (contadas multiplicidades) quanto o seu grau. Seja P de grau n. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra existe \alpha_1 tal que P(\alpha_1)=0. Pelo passo anterior,
P(x)=(x-\alpha_1)Q_1(x),
onde \deg Q_1=n-1 e o coeficiente líder de Q_1 é igual ao coeficiente líder a de P. Aplicando a hipótese de indução ao polinômio Q_1 (grau n-1), existem \alpha_2,\ldots,\alpha_n tais que
Q_1(x)=a\left(x-\alpha_2\right)\cdots\left(x-\alpha_n\right).
Substituindo em P(x)=(x-\alpha_1)Q_1(x) obtém-se
P(x)=a\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right)\cdots\left(x-\alpha_n\right).
Isso prova a fatoração desejada. Cada vez que extraímos um fator linear (x-\alpha_j) o grau diminui em 1; repetindo até chegar a grau 0 extraímos exatamente n fatores, portanto P tem exatamente n raízes quando se contam repetições (multiplicidades). Assim a contagem por multiplicidade é automática: se um mesmo valor \alpha aparecer m vezes entre os \alpha_j, isso significa que (x-\alpha)^m divide P e cada extração diminuiu o grau por 1, totalizando m contribuições para o total n.

Passo 5

Comentário sobre multiplicidade, explicado de forma prática: dizemos que \alpha é raiz de multiplicidade m se m é o maior inteiro tal que (x-\alpha)^m divide P. No procedimento acima, isso corresponde a extrair repetidamente o mesmo fator linear (x-\alpha) m vezes antes que o quociente resultante não tenha mais \alpha como raiz. Como cada extração reduz o grau em 1, a soma das multiplicidades das raízes é igual ao grau n.
Exemplo rápido e concreto (didático): P(x)=2(x-1)^2(x+3) tem grau 3. As raízes são \alpha_1=1 com multiplicidade 2 e \alpha_2=-3 com multiplicidade 1. O produto dos três fatores lineares (contando a repetição de 1) e o coeficiente líder a=2 reproduzem P.

Passo 6

Agora a segunda parte: prova de que, se P tem coeficientes reais e \alpha é raiz complexa, então \overline{\alpha} também é raiz. Seja
P(x)=c_0+c_1 x+\cdots+c_n x^n,
com c_k\in\mathbb{R} para todo k. Avaliando em \alpha e tomando conjugado complexo:
\overline{P(\alpha)}=\overline{c_0+c_1\alpha+\cdots+c_n\alpha^n} =\overline{c_0}+\overline{c_1}\,\overline{\alpha}+\cdots+\overline{c_n}\,\overline{\alpha}^n.
Como c_k\in\mathbb{R} temos \overline{c_k}=c_k, portanto
\overline{P(\alpha)}=c_0+c_1\overline{\alpha}+\cdots+c_n\overline{\alpha}^n=P(\overline{\alpha}).
Se P(\alpha)=0 então \overline{P(\alpha)}=0, logo P(\overline{\alpha})=0. Assim \overline{\alpha} é raiz de P. Exemplo simples: para P(x)=x^2+1 (coeficientes reais) temos P(i)=0 e também P(-i)=0, e de fato -i=\overline{i}.

Passo 7

Observações finais e unicidade: a fatoração obtida é única até a ordem dos fatores (os \alpha_j podem ser permutados), pois se houvesse duas fatorações com o mesmo coeficiente líder a então dividindo uma pela outra obtém-se um polinômio monic que tem mais raízes do que o seu grau, o que é impossível. Portanto os \alpha_j e suas multiplicidades são determinados (ordem à parte).

Resposta

O polinômio P(x) de grau n tem exatamente n raízes contadas as multiplicidades, e se \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} são essas raízes então
P(x)=a\left(x-\alpha_{1}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right).
Se P tem coeficientes reais e \alpha é raiz, então \overline{\alpha} também é raiz.

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