Determine, se possível, os valores das constantes A, B e C para que, para todo x real, sejam válidas as seguintes igualdades:
2 x+1x^3+x=Ax+B x+Cx^2+1

Passo 1

O problema pede para encontrar constantes A, B e C tal que a fração racional se iguale a uma soma de frações parciais — conteúdo de decomposição em frações parciais de funções racionais.

Passo 2

Escrevemos o lado direito sobre o denominador comum x(x²+1) para ter uma única fração:
Ax + Bx+Cx^2+1 = A(x^2+1) + (Bx+C)xx(x^2+1)
Simplificamos o numerador da fração obtida:
A(x^2+1) + (Bx+C)x = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx = (A + B)x^2 + Cx + A
Como queremos que isso seja igual a tfrac2x+1x(x^2+1) para todo x, impomos a identidade polinomial:
(A + B)x^2 + Cx + A = 2x + 1
Equacionando coeficientes, temos:
A + B = 0, C = 2 e A = 1.

Passo 3

Resolvendo o sistema sai: A = 1, daí B = -1 e C = 2.

Resposta

A = 1, B = -1 e C = 2

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