Determine, se possível, os valores das constantes A, B e C para que, para todo x real, sejam válidas as seguintes igualdades:
7 x+14x^2+x-12=Ax-3+Bx+4

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de 7x+14x^2+x-12 na forma Ax-3+Bx+4. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e igualar numeradores.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: x^2+x-12=(x-3)(x+4).
Em seguida, escrevemos a soma das frações com denominador comum e juntamos numeradores: Ax-3+Bx+4=A(x+4)+B(x-3)(x-3)(x+4)
Agora igualamos o numerador obtido ao numerador original: A(x+4)+B(x-3)=7x+14. Expandindo, temos (A+B)x+(4A-3B)=7x+14.

Passo 3

Igualamos coeficientes de x e termo constante, montando o sistema: A+B=7,4A-3B=14
Resolvendo o sistema, de A+B=7 vem A=7-B. Substituindo em 4A-3B=14: 4(7-B)-3B=14 ou 28-7B=14 daí 7B=14 e B=2. Logo A=7-2=5.

Resposta

A = 5, B = 2

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