Determine, se possível, os valores das constantes A, B e C para que, para todo x real, sejam válidas as seguintes igualdades:
x^2+2x^3-1=Ax-1+B x+Cx^2+x+1

Passo 1

Neste exercício, queremos decompor a função racional x^2+2x^3-1 em frações parciais da forma Ax-1+Bx+Cx^2+x+1. O conteúdo principal é decomposição em frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador x^3-1 e usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Fatorando o denominador, temos x^3-1=(x-1)(x^2+x+1). Assim, propomos a identidade
x^2+2(x-1)(x^2+x+1)=Ax-1+Bx+Cx^2+x+1
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+x+1), obtemos
x^2+2 = A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)

Passo 3

Expandimos o lado direito e agrupamos termos:
A(x^2+x+1)=Ax^2+Ax+A,
(Bx+C)(x-1)=Bx^2+(C-B)x -C
Somando-os, resulta
(A+B)x^2 + (A + C - B)x + (A - C)
Logo a igualdade polinomial é
x^2+2 = (A+B)x^2 + (A + C - B)x + (A - C)

Passo 4

Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, formamos o sistema:
A + B = 1, A + C - B = 0, A - C = 2

Passo 5

Resolvendo o sistema: da terceira equação vem C=A-2. Substituindo na segunda: A+(A-2)-B=0 B=2A-2. Na primeira: A+(2A-2)=1 leva a 3A=3 e então A=1. Logo B=0 e C=1-2=-1.

Resposta

A = 1, B = 0, C = -1

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