Se A^{T}=A, determine, se possível, os valores de x e y , sendo
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 4 x^{2} \\ y & x & -y \\ 4 x-1 & -2+y & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os valores de x e y tais que A^T = A. Isso significa que a matriz A deve ser simétrica, ou seja, cada entrada fora da diagonal principal satisfaz
a_{ij} = a_{ji}\quad\text{para todo }i\neq j.

Passo 2

Compare a_{12} com a_{21}. Da matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 4x^{2}\\\ y & x & -y\\\\ 4x-1 & -2+y & 0 \end{pmatrix}
temos
a_{12}=2, \quad a_{21}=y
e a condição simetria dá
2 = y \quad\Longrightarrow\quad y=2.

Passo 3

Compare a_{13} com a_{31}.
a_{13}=4x^{2}, \quad a_{31}=4x-1
portanto
4x^{2} = 4x - 1 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2} -4x +1 =0 \quad\Longrightarrow\quad (2x-1)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.

Passo 4

Compare a_{23} com a_{32}.
a_{23}=-y, \quad a_{32}=-2+y
e a simetria exige
-y = -2 + y \quad\Longrightarrow\quad -2y = -2 \quad\Longrightarrow\quad y=1.

Passo 5

Obtivemos de uma comparação y=2 e de outra y=1. Isso é uma contradição: não há valor de y que satisfaça ambas as condições ao mesmo tempo.

Resposta

Não existem valores de x e y que tornem A simétrica.

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