Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & a \end{array}\right) .
(a) Determine os valores de a \in \mathbb{R} para que a matriz A seja invertível.
(b) Para os valores de a \in \mathbb{R} encontrados no ítem anterior, determine A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & a \end{pmatrix}
e pede (a) os valores de a para que A seja invertível e (b) a inversa A^{-1} nesses casos.
Para isso vamos usar que A é invertível se, e somente se, \det A\neq 0, e depois calcular A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\mathrm{adj}(A).

Passo 2

Calcular o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&a\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2&2\\\ 1&a\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&a\end{pmatrix}=1\cdot a-2\cdot2=a-4, \quad \det\begin{pmatrix}2&2\\\ 1&a\end{pmatrix}=2\cdot a-2\cdot1=2a-2, \quad \det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot1=3.
Logo
\det A = (a-4)\;-\;(2a-2)\;+\;3 = a-4-2a+2+3 = 1 - a.

Passo 3

Para A ser invertível precisamos de \det A\neq 0, ou seja
1 - a \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad a \neq 1.

Passo 4

Agora, para a\neq1, vamos montar a matriz de cofatores \mathrm{Cof}(A). Cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente. Calcula-se:
\mathrm{Cof}(A) =\begin{pmatrix} a-4 & 2-2a & 3\\\\ 2-a & a-1 & -1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
A adjunta de A é \mathrm{adj}(A) = (\mathrm{Cof}(A))^{T}, ou seja
\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} a-4 & 2-a & 1\\\\ 2-2a & a-1 & 0\\\\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente,
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\mathrm{adj}(A) = \frac{1}{1 - a} \begin{pmatrix} a-4 & 2-a & 1\\\\ 2-2a & a-1 & 0\\\\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix},
válido para a\neq1.

Resposta

(a) A é invertível se, e somente se,
a \neq 1.
(b) Para a\neq1,
A^{-1} = \frac{1}{1 - a} \begin{pmatrix} a-4 & 2-a & 1\\\\ 2-2a & a-1 & 0\\\\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

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