(a) Determine os valores de a \in \mathbb{R} para que a matriz A seja invertível.
(b) Para os valores de a \in \mathbb{R} encontrados no ítem anterior, determine A^{-1}.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & a \end{pmatrix}
e pede (a) os valores de a para que A seja invertível e (b) a inversa A^{-1} nesses casos.
Para isso vamos usar que A é invertível se, e somente se, \det A\neq 0, e depois calcular A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\mathrm{adj}(A).
Passo 2
Calcular o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&a\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2&2\\\ 1&a\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix}.
\det A = (a-4)\;-\;(2a-2)\;+\;3 = a-4-2a+2+3 = 1 - a.
Passo 3
Para A ser invertível precisamos de \det A\neq 0, ou seja
1 - a \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad a \neq 1.
Passo 4
Agora, para a\neq1, vamos montar a matriz de cofatores \mathrm{Cof}(A). Cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente. Calcula-se: