Seja A=\left[\begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2\end{array}\right].
Calcule o determinante de A e de A^{t}

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}
e pede \det(A) e \det(A^t). Vamos primeiro calcular \det(A)$ por expansão em cofatores e depois usar a propriedade \(\det(A^t)=\det(A).)

Passo 2

Observamos que a segunda linha de A possui apenas um elemento não nulo, a_{2,4}=1. Fazendo expansão pelo cofactor dessa linha:
\det(A) = (-1)^{2+4}\cdot 1 \cdot \det\bigl(M_{2,4}\bigr) = \det\bigl(M_{2,4}\bigr),
onde M_{2,4} é o menor obtido eliminando linha 2 e coluna 4.

Passo 3

O menor M_{2,4} é a matriz 3\times3
M_{2,4} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Agora calculamos \det(M_{2,4}).

Passo 4

Expandimos \det(M_{2,4}) pela primeira linha, que só tem m_{1,3}=1 não nulo:
\det(M_{2,4}) = (-1)^{1+3}\cdot 1 \cdot \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 2\cdot0 = 1.

Resposta

\det(A)=1
Como vale sempre \det(A^t)=\det(A), temos \det(A^t)=1.

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