Determine se possível, os valores de tais que o conjunto seja LI em .

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^3 e o conjunto
S = ,-102,;111,;k-20
Queremos achar os valores de k para os quais esses três vetores são linearmente independentes. Em R^3, três vetores são LI se, e somente se, o determinante da matriz que os tem como colunas for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de S:
A = -1 & 1 & k 0 & 1 & -2 2 & 1 & 0
O critério de independência é
det(A)neq 0

Passo 3

Vamos calcular det(A) pela expansão na primeira linha:
det(A) = (-1)det!1 & -21 & 0 - (1)det!0 & -22 & 0 + (k)det!0 & 12 & 1
Agora cada menor:
det!1 & -21 & 0 =1cdot 0 - (-2)cdot 1 = 2,
det!0 & -22 & 0 =0cdot 0 - (-2)cdot 2 = 4,
det!0 & 12 & 1 =0cdot 1 - 1cdot 2 = -2
Logo,
det(A) = (-1)cdot 2 ;-; 1cdot 4 ;+; kcdot(-2) = -2 - 4 -2k = -6 -2k = -2,(k+3)

Passo 4

Para que S seja LI, precisamos de det(A)neq 0. Assim
-2,(k+3)neq 0 Longrightarrow k+3neq 0 Longrightarrow kneq -3
Se k=-3, o determinante anula e os vetores ficam linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente em R^3 se, e somente se,
k neq -3

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