Determine se possível, os valores de tais que o conjunto seja LD em .

Passo 1

O enunciado dá três vetores em ,
e pede os valores de para os quais é linearmente dependente.
Para isso vamos usar a definição: é LD se existem escalares não todos nulos tais que

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos ao vetor nulo em cada componente, ou seja,

Passo 3

Isso gera o sistema de equações em a,b,c:
a = 0, a + b + c = 0, -,b - 2c = 0, 2a + k,c = 0

Passo 4

Da primeira equação vem a=0.
Substituindo em a + b + c=0 e em -b-2c=0 obtemos
b + c = 0, b + 2c = 0 Longrightarrow c=0,;b=0

Passo 5

Com a=b=c=0, a última equação 2a + k,c=0 fica 0=0 para qualquer k.
Logo a única solução é a trivial (a,b,c)=(0,0,0) independentemente de k.

Passo 6

Como não há combinação não trivial em nenhum valor de k, o conjunto S é sempre linearmente independente.

Resposta

Não existem valores de k que tornem S linearmente dependente. S é LI para todo kinR

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