A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=(t-1)^3(t-3)^4(t-5)^4 e cujo polinômio mínimo é m(t)= (t-1)(t-3)^4 cdot(t-5)^3

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico
p(t)=(t-1)^3(t-3)^4(t-5)^4
e o polinômio mínimo
m(t)=(t-1)(t-3)^4(t-5)^3
Para cada valor próprio lambda a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan é a multiplicidade algébrica dada por p(t), e o tamanho do maior bloco é o expoente de (t-lambda) em m(t).

Passo 2

Para lambda=1 temos multiplicidade algébrica 3 e expoente em m(t) igual a 1. Logo o maior bloco de Jordan tem tamanho 1. A única forma de somar 3 com blocos de tamanho <=1 é ter três blocos de tamanho 1:
J1(1),;J1(1),;J1(1)

Passo 3

Para lambda=3 a multiplicidade algébrica é 4 e o expoente em m(t) é 4. Logo o maior bloco tem tamanho 4. Como a soma dos tamanhos deve ser 4 e o maior bloco já consome 4, há exatamente um bloco de tamanho 4:
J4(3)

Passo 4

Para lambda=5 a multiplicidade algébrica é 4 e o expoente em m(t) é 3. Logo o maior bloco tem tamanho 3, e a soma total deve ser 4. A única partição de 4 cujo maior termo é 3 é 3+1, o que dá:
J3(5),;J1(5)

Passo 5

Não há outra maneira de distribuir os tamanhos de blocos sem violar ou a soma das multiplicidades algébrica ou o tamanho do maior bloco imposto pelo polinômio mínimo. Portanto a forma canônica de Jordan (à ordem de blocos) é única.

Resposta

A forma canônica de Jordan é
diagl( J1(1),,J1(1),,J1(1),; J4(3),; J3(5),,J1(5) r)

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