A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é
e cujo polinômio mínimo é
Passo 1
O enunciado dá o polinômio característico
e o polinômio mínimo
Para cada valor próprio
a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan é a multiplicidade algébrica dada por
, e o tamanho do maior bloco é o expoente de
em
.
Passo 2
Para
temos multiplicidade algébrica
e expoente em
igual a
. Logo o maior bloco de Jordan tem tamanho
. A única forma de somar 3 com blocos de tamanho
é ter três blocos de tamanho 1:
Passo 3
Para
a multiplicidade algébrica é
e o expoente em
é
. Logo o maior bloco tem tamanho
. Como a soma dos tamanhos deve ser 4 e o maior bloco já consome 4, há exatamente um bloco de tamanho 4:
Passo 4
Para
a multiplicidade algébrica é
e o expoente em
é
. Logo o maior bloco tem tamanho
, e a soma total deve ser 4. A única partição de 4 cujo maior termo é 3 é
, o que dá:
Passo 5
Não há outra maneira de distribuir os tamanhos de blocos sem violar ou a soma das multiplicidades algébrica ou o tamanho do maior bloco imposto pelo polinômio mínimo. Portanto a forma canônica de Jordan (à ordem de blocos) é única.
Resposta
A forma canônica de Jordan é