(2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
( ) Se \operatorname{det} A=2 \mathrm{e} \operatorname{det} B=8 \operatorname{então~} \operatorname{det}\left(A^{-1} \cdot B^{t}\right)=4.

Passo 1

O enunciado considera duas matrizes quadradas A e B tais que \det A = 2 e \det B = 8, e pede o valor de \det\bigl(A^{-1}\cdot B^t\bigr). Vamos usar as propriedades dos determinantes:
\det(XY)=\det X\cdot\det Y,\quad \det(X^{-1})=\frac1{\det X},\quad \det(X^t)=\det X.

Passo 2

Aplicando a propriedade do determinante de produto:
\det\bigl(A^{-1}\cdot B^t\bigr) =\det\bigl(A^{-1}\bigr)\,\cdot\det\bigl(B^t\bigr).

Passo 3

Usando \det(A^{-1})=1/\det A e \det(B^t)=\det B, temos
\det(A^{-1}) = \frac1{\det A} = \frac12, \qquad \det(B^t) = \det B = 8.

Passo 4

Multiplicando os resultados:
\det\bigl(A^{-1}\cdot B^t\bigr) = \frac12 \times 8 = 4.
Logo a afirmativa é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados