Determine o posto da matriz abaixo
\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 6 \\\\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & -1 & 1 & 2 \\\\ 0 & -3 & 0 & 0 & -6 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o posto (ou seja, o rank) da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 6 \\\\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & -1 & 1 & 2 \\\\ 0 & -3 & 0 & 0 & -6 \end{pmatrix}.
Para isso, vamos usar eliminação de Gauss e levar A à forma escalonada por linhas. O número de linhas não nulas nessa forma é o posto de A.

Passo 2

Usamos como pivô o elemento a_{11}=1 na primeira linha e zeramos as entradas abaixo dele na coluna 1:
  • \text{R2}\leftarrow \text{R2}-\text{R1}
  • \text{R3}\leftarrow \text{R3}+\text{R1}
    A última linha já tem zero na coluna 1. Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -4 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 & 8 \\\\ 0 & -3 & 0 & 0 & -6 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora escolhemos como próximo pivô o elemento 2 que está em \text{R3}, coluna 2. Para facilitar, trocamos \text{R2} com \text{R3} e em seguida zeramos abaixo na coluna 2:
  • trocar \text{R2}\leftrightarrow \text{R3}, depois
  • \text{R4}\leftarrow \text{R4} + \tfrac{3}{2}\,\text{R2}.
    Ficamos com
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 6 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 & 8 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{3}{2} & 6 \end{pmatrix}.

Passo 4

O próximo pivô é -1 em \text{R3}, coluna 4. Note que a linha 4 é múltipla de \text{R3} pois
\text{R4} = -\tfrac{3}{2}\,\text{R3}.
Logo só há três linhas independentes (pivôs nas colunas 1, 2 e 4). Portanto o posto de A é 3.

Resposta

3

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