Determine todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{3}\right)=0 A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede os valores de \lambda tais que \det\bigl(A - \lambda I_3\bigr) = 0, ou seja, encontrar os autovalores de A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3\\\\ 0 & 3 & -2\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}. Vamos usar o cálculo do determinante de A - \lambda I_3 e depois resolver a equação característica. Passo 2Primeiro escrevemos A - \lambda I_3 = \begin{pmatrix} 2-\lambda & -2 & 3\\\\ 0 & 3-\lambda & -2\\\\ 0 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}. Passo 3Note que na primeira coluna só o elemento (1,1) é não nulo, então usamos expansão de Laplace pela primeira coluna: \det(A - \lambda I_3) = (2-\lambda)\, \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -2\\\\ -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}. Passo 4Agora calculamos o determinante do menor 2\times2: \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -2\\\\ -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda) - (-2)\cdot(-1). Passo 5Expandindo e simplificando: (3-\lambda)(2-\lambda) - 2 = \bigl(6 -5\lambda +\lambda^2\bigr) -2 = \lambda^2 -5\lambda +4. Logo a equação característica fica \det(A - \lambda I_3) = (2-\lambda)\,\bigl(\lambda^2 -5\lambda +4\bigr). Passo 6Fatoramos o polinômio quadrático: \lambda^2 -5\lambda +4 = (\lambda-1)(\lambda-4). Portanto \det(A - \lambda I_3) = (2-\lambda)\,(\lambda-1)\,(\lambda-4). Passo 7Para anular o determinante, basta resolver (2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4)=0, que dá as três soluções \lambda = 2,\quad \lambda = 1,\quad \lambda = 4. Resposta \lambda = 1,\;2,\;4. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine o posto da matriz abaixo \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 6 \\\\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & -1 & 1 & 2 \\\\ 0 & -3 & 0 & 0 & -6 \end{array}\right] Exemplo 1.2.9: Dado o vetor vec{v}=(-2,1), encontre o vetor vec{u} paralelo a vec{v} que tenha: O mesmo sentido de vec{v} e com módulo 1 . Verdadeiro ou Falso (justifique ou dê contra-exemplo). Se \operatorname{det}(A)=1 e B é uma matriz não singular, então \operatorname{det}(A B)=1. Verdadeiro ou Falso (justifique ou dê contra-exemplo). (A+B)(A B)^{-1}=A B^{-1} A^{-1}+A^{-1}.