Determine todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{3}\right)=0
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os valores de \lambda tais que
\det\bigl(A - \lambda I_3\bigr) = 0,
ou seja, encontrar os autovalores de
A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3\\\\ 0 & 3 & -2\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Vamos usar o cálculo do determinante de A - \lambda I_3 e depois resolver a equação característica.

Passo 2

Primeiro escrevemos
A - \lambda I_3 = \begin{pmatrix} 2-\lambda & -2 & 3\\\\ 0 & 3-\lambda & -2\\\\ 0 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Note que na primeira coluna só o elemento (1,1) é não nulo, então usamos expansão de Laplace pela primeira coluna:
\det(A - \lambda I_3) = (2-\lambda)\, \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -2\\\\ -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos o determinante do menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -2\\\\ -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda) - (-2)\cdot(-1).

Passo 5

Expandindo e simplificando:
(3-\lambda)(2-\lambda) - 2 = \bigl(6 -5\lambda +\lambda^2\bigr) -2 = \lambda^2 -5\lambda +4.
Logo a equação característica fica
\det(A - \lambda I_3) = (2-\lambda)\,\bigl(\lambda^2 -5\lambda +4\bigr).

Passo 6

Fatoramos o polinômio quadrático:
\lambda^2 -5\lambda +4 = (\lambda-1)(\lambda-4).
Portanto
\det(A - \lambda I_3) = (2-\lambda)\,(\lambda-1)\,(\lambda-4).

Passo 7

Para anular o determinante, basta resolver
(2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4)=0,
que dá as três soluções
\lambda = 2,\quad \lambda = 1,\quad \lambda = 4.

Resposta

\lambda = 1,\;2,\;4.

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