Verdadeiro ou Falso (justifique ou dê contra-exemplo).
Se \operatorname{det}(A)=1 e B é uma matriz não singular, então \operatorname{det}(A B)=1.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas matrizes quadradas A e B, com \det(A)=1 e B não singular (ou seja, \det(B)\neq0). O conteúdo aqui é a propriedade do determinante no produto de matrizes: precisamos usar que o determinante de um produto é o produto dos determinantes.

Passo 2

Pela propriedade do determinante, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis temos
\det(A B) \;=\;\det(A)\,\det(B).

Passo 3

Como \det(A)=1, segue
\det(A B)=1\cdot\det(B)=\det(B).
Portanto, em geral \det(A B) não precisa ser igual a 1, mas sim igual a \det(B), que pode ser diferente de 1.

Passo 4

Contra-exemplo em dimensão 2: seja
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Então \det(A)=1 e \det(B)=2\neq1, mas
\det(A B)=\det(B)=2\neq1.]

Resposta

Falso.

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