Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes. \left[\begin{array}{rrrr}3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 2 & -1 & 4 & 1 \\\\ 7 & 1 & 2 & 5\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz A e pede duas coisas: o posto (dimensão do espaço gerado pelas colunas) e a nulidade (dimensão do núcleo) de A.
A matriz fornecida é
Observação útil para organizar o trabalho: A é uma matriz de tamanho 3\times4 (três linhas e quatro colunas). Portanto o posto satisfaz 0\le\operatorname{rank}(A)\le3 e a nulidade satisfaz 0\le\operatorname{nullity}(A)\le4.
Passo 2
Antes de começar a manipular: o que vamos usar e por quê (em linguagem simples).
O posto de uma matriz pode ser encontrado fazendo redução por linhas (eliminação de Gauss) e contando o número de linhas não nulas na forma escalonada — esses correspondem aos pivôs (colunas com pivot). Essa contagem dá o posto tanto das linhas quanto das colunas.
A nulidade (dimensão do núcleo) de A:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 para a matriz 3\times4 satisfaz a relação de dimensão (Teorema da dimensão):
Então o procedimento será: reduzir A por linhas até forma escalonada (ou reduzida), contar pivôs para obter o posto e, se quiser, resolver Ax=0 para ver quantas variáveis livres existem (confirmação da nulidade).
Passo 3
Começo a eliminação de Gauss. Escrevo A e faço operações elementares por linhas que não alteram o posto.
Conto os pivôs: há um pivô não nulo na linha 1 (coluna 1), outro na linha 2 (coluna 2) e outro na linha 3 (coluna 3). Ou seja, existem 3 linhas não nulas na forma escalonada, logo
\operatorname{rank}(A)=3.
Explicação curta: operações elementares por linhas não alteram o posto, e cada linha não nula na forma escalonada corresponde a um pivô independente, que conta para o posto.
Passo 6
Agora mostro também a resolução do sistema homogêneo [Ax=0) e a forma reduzida para identificar o núcleo (isso confirma a nulidade e dá um gerador do núcleo). Volto à última forma obtida e ponho pivôs igual a 1 para alcançar a forma reduzida por linhas (RREF).
Parto da linha 3 em versão inteira \left[0,0,-333,-9\right]. Primeiro pivot em a_{33}=-333. Divido R_3 por -333 para obter pivô 1:
R_3 \leftarrow \left[0,0,1,\tfrac{1}{37}\right]
pois (-9/(-333)=9/333=1/37.
Em seguida elimino o coeficiente na coluna 3 nas linhas 1 e 2:
R_1 \leftarrow R_1 - 1\cdot R_3,
R_2 \leftarrow R_2 - 10\cdot R_3.
Depois ajusto a linha 2 para pivô 1 dividindo por -13, e então elimino o termo da coluna 2 em R_1. Realizando as contas (mostradas resumidas), chega-se à forma reduzida