Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{rrrr}3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 2 & -1 & 4 & 1 \\\\ 7 & 1 & 2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede duas coisas: o posto (dimensão do espaço gerado pelas colunas) e a nulidade (dimensão do núcleo) de A.
A matriz fornecida é
A=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 2 & -1 & 4 & 1 \\\\ 7 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right].
Observação útil para organizar o trabalho: A é uma matriz de tamanho 3\times4 (três linhas e quatro colunas). Portanto o posto satisfaz 0\le\operatorname{rank}(A)\le3 e a nulidade satisfaz 0\le\operatorname{nullity}(A)\le4.

Passo 2

Antes de começar a manipular: o que vamos usar e por quê (em linguagem simples).
  • O posto de uma matriz pode ser encontrado fazendo redução por linhas (eliminação de Gauss) e contando o número de linhas não nulas na forma escalonada — esses correspondem aos pivôs (colunas com pivot). Essa contagem dá o posto tanto das linhas quanto das colunas.
  • A nulidade (dimensão do núcleo) de A:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 para a matriz 3\times4 satisfaz a relação de dimensão (Teorema da dimensão):
\operatorname{nullity}(A)=\#\text{colunas}-\operatorname{rank}(A)=4-\operatorname{rank}(A).
Então o procedimento será: reduzir A por linhas até forma escalonada (ou reduzida), contar pivôs para obter o posto e, se quiser, resolver Ax=0 para ver quantas variáveis livres existem (confirmação da nulidade).

Passo 3

Começo a eliminação de Gauss. Escrevo A e faço operações elementares por linhas que não alteram o posto.
Matriz inicial:
\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 2 & -1 & 4 & 1 \\\\ 7 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right]
Elimino abaixo do pivô na linha 1 ( a_{11}=3):
  • R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{2}{3}R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{7}{3}R_1.
Fazendo as contas (mostrando os resultados):
\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & -\tfrac{13}{3} & \tfrac{10}{3} & -\tfrac{5}{3} \\\\ 0 & -\tfrac{32}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{13}{3} \end{array}\right].
Para ficar mais limpo, multiplico as linhas 2 e 3 por 3 (operação de escala por linha não muda o posto):
\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & -13 & 10 & -5 \\\\ 0 & -32 & -1 & -13 \end{array}\right].

Passo 4

Elimino abaixo do pivô na segunda linha ( a_{22}=-13):
  • fator para zerar a_{32} é \dfrac{-32}{-13}=\dfrac{32}{13},
  • R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{32}{13}R_2.
Calculando:
R_3 = \left[0,\,-32,\,-1,\,-13\right] - \frac{32}{13}\left[0,\,-13,\,10,\,-5\right] = \left[0,\,0,\,-\frac{333}{13},\,-\frac{9}{13}\right].
Multiplicando R_3 por 13 (apenas para limpar frações):
R_3 \sim \left[0,\,0,\,-333,\,-9\right].
Então uma forma escalonada (com constantes inteiras em linhas 2 e 3) é
\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & -13 & 10 & -5 \\\\ 0 & 0 & -333 & -9 \end{array}\right].

Passo 5

Conto os pivôs: há um pivô não nulo na linha 1 (coluna 1), outro na linha 2 (coluna 2) e outro na linha 3 (coluna 3). Ou seja, existem 3 linhas não nulas na forma escalonada, logo
\operatorname{rank}(A)=3.
Explicação curta: operações elementares por linhas não alteram o posto, e cada linha não nula na forma escalonada corresponde a um pivô independente, que conta para o posto.

Passo 6

Agora mostro também a resolução do sistema homogêneo [Ax=0) e a forma reduzida para identificar o núcleo (isso confirma a nulidade e dá um gerador do núcleo). Volto à última forma obtida e ponho pivôs igual a 1 para alcançar a forma reduzida por linhas (RREF).
Parto da linha 3 em versão inteira \left[0,0,-333,-9\right]. Primeiro pivot em a_{33}=-333. Divido R_3 por -333 para obter pivô 1:
R_3 \leftarrow \left[0,0,1,\tfrac{1}{37}\right]
pois (-9/(-333)=9/333=1/37.
Em seguida elimino o coeficiente na coluna 3 nas linhas 1 e 2:
  • R_1 \leftarrow R_1 - 1\cdot R_3,
  • R_2 \leftarrow R_2 - 10\cdot R_3.
Depois ajusto a linha 2 para pivô 1 dividindo por -13, e então elimino o termo da coluna 2 em R_1. Realizando as contas (mostradas resumidas), chega-se à forma reduzida
\text{RREF}(A)=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & \tfrac{24}{37} \\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{15}{37} \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{37} \end{array}\right].
Isso representa o sistema Ax=0 com incógnitas x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T:
\begin{cases} x_1 + \tfrac{24}{37}x_4 = 0,\\[4pt] x_2 + \tfrac{15}{37}x_4 = 0,\\[4pt] x_3 + \tfrac{1}{37}x_4 = 0. \end{cases}
A variável x_4\] é livre. Escrevendo as soluções em função de \(t=x_4:
x_1 = -\tfrac{24}{37}t,\quad x_2 = -\tfrac{15}{37}t,\quad x_3 = -\tfrac{1}{37}t,\quad x_4 = t.
Escolhendo t=37 para eliminar denominadores, obtemos um vetor gerador inteiro do núcleo:
x = \left(-24,\,-15,\,-1,\,37\right)^T.
Portanto o espaço nulo tem dimensão 1 e base por exemplo \{(-24,-15,-1,37)^T\}.])

Passo 7

Concluo a nulidade usando a relação entre colunas e posto:
\operatorname{nullity}(A)=4-\operatorname{rank}(A)=4-3=1.

Resposta

\operatorname{posto}(A)=3
\operatorname{nulidade}(A)=1

Exercícios relacionados