Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 6 & 6 \\\\ 3 & 1 & 1 & -1 \\\\ 5 & 2 & 7 & 5 \\\\ -2 & 4 & 3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar o posto e a nulidade da matriz 4\times4
A=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 6 & 6 \\\\ 3 & 1 & 1 & -1 \\\\ 5 & 2 & 7 & 5 \\\\ -2 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right].
Informações dadas:
  • A matriz A tem quatro linhas e quatro colunas.
  • As quantidades solicitadas são:
    • o posto (número máximo de linhas/colunas linearmente independentes de A);
    • a nulidade (dimensão do núcleo \ker(A), isto é, o espaço solução de A x=0).

Passo 2

Breve lembrete teórico (útil para a prova):
  • O posto de uma matriz é o número de pivôs na forma escalonada por linhas (row-echelon) obtida por eliminação de Gauss. Operações permitidas: trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra.
  • A nulidade (dimensão do núcleo) satisfaz o teorema da dimensão (teorema da nulidade): para uma matriz com n colunas,
\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A).
Aqui n=4. Então, depois de achar o posto, a nulidade será 4- posto.

Passo 3

Vamos aplicar eliminação de Gauss em A. Começo mostrando a matriz inicial:
\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 6 & 6 \\\\ 3 & 1 & 1 & -1 \\\\ 5 & 2 & 7 & 5 \\\\ -2 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right]
Usarei a primeira entrada a_{11}=2 como primeiro pivô.
Faço as operações (todas linhas indicadas são linhas da matriz original):
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \tfrac{3}{2}\text{R}_1,\qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \tfrac{5}{2}\text{R}_1,\qquad \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 + \text{R}_1.
Computando cada uma resulta:
\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 6 & 6 \\\\ 0 & -\tfrac{1}{2} & -8 & -10 \\\\ 0 & -\tfrac{1}{2} & -8 & -10 \\\\ 0 & 5 & 9 & 8 \end{array}\right].

Passo 4

Para simplificar as frações, multiplico \text{R}_2 e \text{R}_3 por -2:
\text{R}_2 \leftarrow -2\text{R}_2,\qquad \text{R}_3 \leftarrow -2\text{R}_3,
ficando
\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 6 & 6 \\\\ 0 & 1 & 16 & 20 \\\\ 0 & 1 & 16 & 20 \\\\ 0 & 5 & 9 & 8 \end{array}\right].
Agora elimino as entradas acima e abaixo do pivô da coluna 2 (que está em \text{R}_2):
\text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - \text{R}_2,\qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_2,\qquad \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - 5\text{R}_2.
Calculando:
\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & -10 & -14 \\\\ 0 & 1 & 16 & 20 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -71 & -92 \end{array}\right].

Passo 5

Troco \text{R}_3 com \text{R}_4 para subir a linha não nula:
\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & -10 & -14 \\\\ 0 & 1 & 16 & 20 \\\\ 0 & 0 & -71 & -92 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Agora uso o pivô -71 na linha 3 para zerar as entradas na coluna 3 acima. Primeiro normalizo \text{R}_3 (dividindo por -71) para trabalhar com 1:
\text{R}_3 \leftarrow \tfrac{1}{-71}\text{R}_3 \quad\Rightarrow\quad \text{R}_3 = \left[0\;0\;1\;\tfrac{92}{71}\right].

Passo 6

Eliminação nas colunas acima do pivô em \text{R}_3:
\text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 + 10\text{R}_3,\qquad \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 16\text{R}_3.
Isso dá:
\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & -\tfrac{74}{71} \\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{52}{71} \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{92}{71} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 7

Termino obtendo a forma reduzida escalonada (RREF) dividindo \text{R}_1 por 2:
\text{R}_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}\text{R}_1 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{37}{71} \\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{52}{71} \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{92}{71} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Agora a interpretação é direta: há pivôs nas colunas 1, 2 e 3; a coluna 4 é livre.

Passo 8

Conclusões a partir da forma escalonada:
  • O número de pivôs (linhas não nulas) é 3. Portanto o posto de A é 3.
  • Usando \dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A) com n=4,
\dim\ker(A)=4-3=1.
Ou seja, a nulidade é 1.
(Se desejar ver a base do núcleo: tomando x_4=t livre, das equações reduzidas obtém-se
x_1=\tfrac{37}{71}t,\quad x_2=\tfrac{52}{71}t,\quad x_3=-\tfrac{92}{71}t,\quad x_4=t,
portanto \ker(A)=\operatorname{span}\{(37,52,-92,71)\}, confirmando dimensão 1.)

Resposta

posto =3
nulidade =1

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