Você constroi uma máquina térmica que realiza um ciclo de Carnot, usando um gás ideal monoatômico. A temperatura do reservatório quente é T_{q} e do reservatório frio é T_{f}.
(a) Faça o diagrama \mathrm{P}-\mathrm{V} referente ao processo.
(b) Para que o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo, qual deve ser o sentido dos processos representados na letra anterior?
(c) Calcule explicitamente o trabalho, calor, variação de energia interna e variação de entropia para cada processo que constitui o ciclo de Carnot. Considere que o volume do gás varia de V_{a} para V_{b} durante a expansão isotérmica.
(d) Qual a eficiência do ciclo? O que este resultado implica?

Passo 1

O enunciado dá uma máquina térmica que realiza um ciclo de Carnot com um gás ideal monoatômico. As informações fornecidas e pedidos são:
  • Reservatório quente com temperatura \,T_{q}\, e reservatório frio com temperatura \,T_{f}\,.
  • Durante a expansão isotérmica quente o volume varia de \,V_{a}\, para \,V_{b}\, (isto é, o trecho isoterma quente é a\to b).
  • Pedidos:
    (a) Fazer o diagrama P- V do ciclo.
    (b) Determinar em que sentido (horário/anti-horário) os processos devem ocorrer para que o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo.
    (c) Calcular explicitamente — para cada processo do ciclo de Carnot — o trabalho W, o calor Q, a variação de energia interna \Delta U e a variação de entropia \Delta S.
    (d) Calcular a eficiência do ciclo e comentar o significado do resultado.
Informações físicas que vamos usar sem pedir nada além do enunciado:
  • Gás ideal monoatômico: número de graus de liberdade f=3.
  • Energia interna do gás ideal: \,U=\frac{f}{2}nRT=\frac{3}{2}nRT\,.
  • Convenção de sinais: definimos W como o trabalho realizado pelo gás (portanto se o gás se expande W>0; se for comprimido W<0). A 1ª lei: \,\Delta U = Q - W\,.

Passo 2

Descrição do diagrama P- V do ciclo de Carnot (sem desenhar, mas com orientação clara):
  • O ciclo tem quatro trechos, em ordem (sentido de um motor térmico clássico):
    1. a \to b: isoterma a temperatura alta \,T_q — expansão isotérmica (volume aumenta de \,V_a para \,V_b).
    2. b \to c: expansão adiabática reversível — o gás esfria de \,T_q até \,T_f enquanto o volume aumenta de \,V_b para \,V_c.
    3. c \to d: isoterma a temperatura baixa \,T_f — compressão isotérmica (volume diminui de \,V_c para \,V_d).
    4. d \to a: compressão adiabática reversível — o gás é comprimido e a temperatura sobe de \,T_f para \,T_q, voltando ao ponto a (volume de \,V_d para \,V_a).
  • No gráfico P- V:
    • As duas isotermais são curvas hiperbólicas, a isoterma de \,T_q fica acima (pressão maior para dado V) que a de \,T_f.
    • As duas adiabáticas estão entre as isotermais e se cruzam nos pontos indicados, ligando b a c e d a a.
  • Sentido horário no diagrama corresponde a um motor que realiza trabalho líquido positivo sobre o exterior (o gás faz trabalho). Sentido anti-horário corresponde a um ciclo inverso (refrigerador / bomba térmica) em que o trabalho é realizado sobre o gás.

Passo 3

Fórmulas e conceitos básicos que vamos usar (explicados passo a passo):
  • Primeira lei da termodinâmica (definida acima): \,\Delta U = Q - W\,. Aqui \Delta U é variação da energia interna do gás, Q calor absorvido pelo gás (positivo se o gás ganha calor) e W trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho).
  • Energia interna do gás ideal monoatômico: U=\frac{3}{2}nRT,portanto qualquer variação de U entre estados com temperaturas T_1 e T_2 é \Delta U = \frac{3}{2}nR(T_2-T_1).Dica prática: em processos isotérmicos \Delta U=0.
  • Trabalho em um processo quasistático: \,W=\int P\,dV\,. Para um gás ideal, em uma isoterma P=\dfrac{nRT}{V} e assim o integral dá logaritmo.
  • Processos adiabáticos reversíveis do gás ideal: relação de Poisson \,PV^{\gamma}=\text{const}\, com \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}. Para monoatômico C_V=\dfrac{3}{2}R, C_P=C_V+R=\dfrac{5}{2}R, logo \gamma=\frac{5}{3}.Outra forma útil da adiabática é \,T V^{\gamma-1}=\text{const}\,, que usaremos para relacionar volumes entre pontos conectados por adiabáticas.
  • Entropia numa transformação reversível: \,dS=\dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}\,. Em uma isoterma reversível, \Delta S = Q/T. Em uma adiabática reversível \Delta S=0.

Passo 4

Cálculo para a isoterma quente a\to b (temperatura \,T_q, volume de \,V_a para \,V_b):
  • Energia interna: \Delta U_{a\to b}=0porque a temperatura é constante.
  • Trabalho realizado pelo gás: W_{a\to b}=\int_{V_a}^{V_b} P\,dV =\int_{V_a}^{V_b}\frac{nR T_q}{V}\,dV =nR T_q \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).Observação: se \,V_b>V_a esse trabalho é positivo (expansão).
  • Calor absorvido: Q_{a\to b}= \Delta U_{a\to b} + W_{a\to b}=W_{a\to b}=nR T_q \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).
  • Variação de entropia: \Delta S_{a\to b}=\frac{Q_{a\to b}}{T_q}=nR \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).

Passo 5

Cálculo para a adiabática reversível b\to c (expansão adiabática, T_q\to T_f, volumes V_b\to V_c):
  • Calor trocado: Q_{b\to c}=0por definição de adiabática reversível.
  • Variação da energia interna (usar U=\tfrac{3}{2}nRT): \Delta U_{b\to c}=\frac{3}{2}nR(T_f-T_q).Como T_f<T_q neste trecho, \Delta U_{b\to c}<0.
  • Trabalho realizado pelo gás:
    Pela 1ª lei, W_{b\to c}=Q_{b\to c}-\Delta U_{b\to c} = -\Delta U_{b\to c}. Assim W_{b\to c}=\frac{3}{2}nR(T_q-T_f).Observação: esse trabalho é positivo (gás realiza trabalho enquanto sua energia interna diminui).
  • Variação da entropia: \Delta S_{b\to c}=0porque processo adiabático reversível não troca entropia.
Também é útil a forma alternativa (equivalente) para trabalho adiabático:
W_{b\to c}=\frac{P_b V_b - P_c V_c}{\gamma-1},
pois para adiabática PV^\gamma é constante; essa expressão é consistente com a expressão em termos de temperaturas usando P V = n R T.

Passo 6

Cálculo para a isoterma fria c\to d (temperatura \,T_f, volume \,V_c\to V_d):
  • Energia interna: \Delta U_{c\to d}=0pois temperatura constante em T_f.
  • Trabalho realizado pelo gás: W_{c\to d}=\int_{V_c}^{V_d}P\,dV =nR T_f \ln\!\left(\frac{V_d}{V_c}\right).Como normalmente V_d<V_c nessa compressão isotérmica, \ln(\tfrac{V_d}{V_c})<0 e portanto W_{c\to d}<0 (trabalho realizado pelo gás é negativo, isto é, trabalho é feito sobre o gás).
  • Calor trocado: Q_{c\to d}= \Delta U_{c\to d} + W_{c\to d}=W_{c\to d}=nR T_f \ln\!\left(\frac{V_d}{V_c}\right).Como W_{c\to d}<0, esse Q_{c\to d} é negativo: calor sai do gás para o reservatório frio.
  • Variação de entropia: \Delta S_{c\to d}=\frac{Q_{c\to d}}{T_f}=nR \ln\!\left(\frac{V_d}{V_c}\right).

Passo 7

Cálculo para a adiabática reversível d\to a (compressão adiabática, T_f\to T_q, volumes V_d\to V_a):
  • Calor trocado: Q_{d\to a}=0.
  • Variação da energia interna: \Delta U_{d\to a}=\frac{3}{2}nR(T_q-T_f).Aqui T_q>T_f então \Delta U_{d\to a}>0.
  • Trabalho realizado pelo gás: W_{d\to a}=Q_{d\to a}-\Delta U_{d\to a}=-\Delta U_{d\to a}=\frac{3}{2}nR(T_f-T_q),que é negativo (trabalho é realizado sobre o gás durante a compressão).
  • Variação de entropia: \Delta S_{d\to a}=0.
Note que os trabalhos das duas adiabáticas se cancelam quando somados ( W_{b\to c}+W_{d\to a}=0), porque suas \Delta U são opostas e Q=0 em ambas.

Passo 8

Relações entre volumes usando as adiabáticas e consequente simplificação para Q, \Delta S e eficiência:
  • Para uma adiabática reversível vale T V^{\gamma-1}= const. Assim, entre b e c: T_q V_b^{\gamma-1} = T_f V_c^{\gamma-1}.Entre d e a: T_f V_d^{\gamma-1} = T_q V_a^{\gamma-1}.Dividindo as duas equações obtém-se \left(\frac{V_b}{V_a}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{V_c}{V_d}\right)^{\gamma-1},portanto \frac{V_b}{V_a}=\frac{V_c}{V_d}.Esta relação é crucial porque implica \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right)=\ln\!\left(\frac{V_c}{V_d}\right).
  • Usando essa igualdade, os calores nas isotermas relacionam-se por Q_{a\to b}=nR T_q \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right),\qquad Q_{c\to d}=nR T_f \ln\!\left(\frac{V_d}{V_c}\right)= - nR T_f \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).
  • Entropias nas isotermas: \Delta S_{a\to b}=nR \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right),\qquad \Delta S_{c\to d}=nR \ln\!\left(\frac{V_d}{V_c}\right)=-nR \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).Portanto a variação total de entropia do gás ao longo do ciclo é zero, como esperado para um ciclo reversível: \sum \Delta S = 0.

Passo 9

Trabalho líquido do ciclo e eficiência:
  • Trabalho líquido por ciclo W_{\text{líq}}í (trabalho total realizado pelo gás) é soma dos trabalhos nos quatro trechos. Como as adiabáticas se cancelam, fica W_{\text{líq}} = W_{a\to b}+W_{c\to d} = nR T_q \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right) + nR T_f \ln\!\left(\frac{V_d}{V_c}\right).íUsando \ln(V_d/V_c)=-\ln(V_b/V_a) obtemos W_{\text{líq}} = nR\bigl(T_q-T_f\bigr)\ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).í
  • Eficiência do ciclo (fração do calor absorvido que vira trabalho) definida por \eta=\dfrac{W_{\text{líq}}}{Q_{a\to b}}í. Com Q_{a\to b}=nR T_q \ln\!\left(\dfrac{V_b}{V_a}\right) obtemos \eta = \frac{nR(T_q-T_f)\ln\!\left(\dfrac{V_b}{V_a}\right)}{nR T_q \ln\!\left(\dfrac{V_b}{V_a}\right)} = 1 - \frac{T_f}{T_q}.
  • Interpretação: a eficiência depende apenas das temperaturas dos reservatórios e não dos detalhes do gás. Para um ciclo de Carnot reversível entre duas temperaturas \,T_q e \,T_f a eficiência máxima possível é \,1-\dfrac{T_f}{T_q}. Isso significa que nenhum motor operando entre esses mesmos dois reservatórios (reversível ou irreversível) pode ter eficiência maior que a de Carnot; a eficiência de Carnot é o limite superior.

Passo 10

Resposta à pergunta (b) sobre o sentido dos processos para que o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo:
  • Lembrete de convenção: W é trabalho realizado pelo gás. Se o enunciado pede que “o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo”, interpretando literalmente “trabalho realizado no gás” como trabalho sobre o gás W_{\text{sobre}}, e sabendo que W_{\text{sobre}}=-W, então W_{\text{sobre}}<0 equivale a W>0. Em outras palavras, pedir que o trabalho realizado no gás seja negativo é equivalente a pedir que o gás realize trabalho positivo sobre o meio exterior.
  • No diagrama P- V isso ocorre quando o ciclo é percorrido no sentido horário (expansão isotérmica na isoterma quente, seguida de adiabática, compressão isotérmica fria, e adiabática de retorno). Portanto:
    • Sentido horário: gás realiza trabalho líquido positivo ( W>0), logo W_{\text{sobre}}<0.
    • Sentido anti-horário: trabalho líquido pelo gás é negativo ( W<0), isto é, trabalho é realizado sobre o gás (ciclo invertido, aplicar energia para bombear calor).

Resposta

(a) Diagrama P- V: ciclo formado por quatro trechos na ordem a\to b (isoterma em T_q, expansão V_a\to V_b), b\to c (adiabática, T_q\to T_f, V_b\to V_c), c\to d (isoterma em T_f, compressão V_c\to V_d) e d\to a (adiabática, T_f\to T_q, V_d\to V_a). A isoterma em \,T_q fica acima da isoterma em \,T_f. (O sentido horário corresponde a motor que fornece trabalho ao exterior.)
(b) Para que o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo (isto é, trabalho realizado sobre o gás negativo => o gás realiza trabalho positivo), o ciclo deve ser percorrido no sentido horário no diagrama P- V.
(c) Para cada processo (usando W trabalho realizado pelo gás, n número de mols, R constante dos gases, \gamma=5/3):
  • a\to b (isoterma em \,T_q, V_a\to V_b): \Delta U_{a\to b}=0,
W_{a\to b}=Q_{a\to b}=nR T_q \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right),
\Delta S_{a\to b}=nR \ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).
  • b\to c (adiabática, T_q\to T_f, V_b\to V_c): Q_{b\to c}=0,
\Delta U_{b\to c}=\frac{3}{2}nR(T_f-T_q),
W_{b\to c}=\frac{3}{2}nR(T_q-T_f),
\Delta S_{b\to c}=0.
  • c\to d (isoterma em \,T_f, V_c\to V_d): \Delta U_{c\to d}=0,
W_{c\to d}=Q_{c\to d}=nR T_f \ln\!\left(\frac{V_d}{V_c}\right),
\Delta S_{c\to d}=nR \ln\!\left(\frac{V_d}{V_c}\right).
  • d\to a (adiabática, T_f\to T_q, V_d\to V_a): Q_{d\to a}=0,
\Delta U_{d\to a}=\frac{3}{2}nR(T_q-T_f),
W_{d\to a}=\frac{3}{2}nR(T_f-T_q),
\Delta S_{d\to a}=0.
Adicionalmente, usando as adiabáticas obtém-se \dfrac{V_b}{V_a}=\dfrac{V_c}{V_d}, o que leva a \Delta S_{\text{total}}=0.
(d) Eficiência:
W_{\text{líq}}=nR(T_q-T_f)\ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right),í
\eta=\frac{W_{\text{líq}}}{Q_{a\to b}}=1-\frac{T_f}{T_q}.í
Implicação: a eficiência depende somente das temperaturas dos reservatórios; \eta=1-T_f/T_q é a eficiência máxima (limite de Carnot) para máquinas operando entre as temperaturas \,T_q e \,T_f.

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