Você constroi uma máquina térmica que realiza um ciclo de Carnot, usando um gás ideal monoatômico. A temperatura do reservatório quente é
e do reservatório frio é
.
(a) Faça o diagrama
referente ao processo.
(b) Para que o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo, qual deve ser o sentido dos processos representados na letra anterior?
(c) Calcule explicitamente o trabalho, calor, variação de energia interna e variação de entropia para cada processo que constitui o ciclo de Carnot. Considere que o volume do gás varia de
para
durante a expansão isotérmica.
(d) Qual a eficiência do ciclo? O que este resultado implica?
(a) Faça o diagrama
(b) Para que o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo, qual deve ser o sentido dos processos representados na letra anterior?
(c) Calcule explicitamente o trabalho, calor, variação de energia interna e variação de entropia para cada processo que constitui o ciclo de Carnot. Considere que o volume do gás varia de
(d) Qual a eficiência do ciclo? O que este resultado implica?
Passo 1
O enunciado dá uma máquina térmica que realiza um ciclo de Carnot com um gás ideal monoatômico. As informações fornecidas e pedidos são:
- Reservatório quente com temperatura
e reservatório frio com temperatura . - Durante a expansão isotérmica quente o volume varia de
para (isto é, o trecho isoterma quente é ). - Pedidos:
(a) Fazer o diagrama- do ciclo.
(b) Determinar em que sentido (horário/anti-horário) os processos devem ocorrer para que o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo.
(c) Calcular explicitamente — para cada processo do ciclo de Carnot — o trabalho, o calor , a variação de energia interna e a variação de entropia .
(d) Calcular a eficiência do ciclo e comentar o significado do resultado.
Informações físicas que vamos usar sem pedir nada além do enunciado:
- Gás ideal monoatômico: número de graus de liberdade
. - Energia interna do gás ideal:
. - Convenção de sinais: definimos
como o trabalho realizado pelo gás (portanto se o gás se expande ; se for comprimido ). A 1ª lei:
Passo 2
Descrição do diagrama
-
do ciclo de Carnot (sem desenhar, mas com orientação clara):
- O ciclo tem quatro trechos, em ordem (sentido de um motor térmico clássico):
-
: isoterma a temperatura alta — expansão isotérmica (volume aumenta de para ). -
: expansão adiabática reversível — o gás esfria de até enquanto o volume aumenta de para . -
: isoterma a temperatura baixa — compressão isotérmica (volume diminui de para ). -
: compressão adiabática reversível — o gás é comprimido e a temperatura sobe de para , voltando ao ponto (volume de para ).
-
- No gráfico
- : - As duas isotermais são curvas hiperbólicas, a isoterma de
fica acima (pressão maior para dado ) que a de . - As duas adiabáticas estão entre as isotermais e se cruzam nos pontos indicados, ligando
a e a .
- As duas isotermais são curvas hiperbólicas, a isoterma de
- Sentido horário no diagrama corresponde a um motor que realiza trabalho líquido positivo sobre o exterior (o gás faz trabalho). Sentido anti-horário corresponde a um ciclo inverso (refrigerador / bomba térmica) em que o trabalho é realizado sobre o gás.
Passo 3
Fórmulas e conceitos básicos que vamos usar (explicados passo a passo):
- Primeira lei da termodinâmica (definida acima):
Aqui é variação da energia interna do gás, calor absorvido pelo gás (positivo se o gás ganha calor) e trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho). - Energia interna do gás ideal monoatômico:
portanto qualquer variação de entre estados com temperaturas e é Dica prática: em processos isotérmicos . - Trabalho em um processo quasistático:
Para um gás ideal, em uma isoterma e assim o integral dá logaritmo. - Processos adiabáticos reversíveis do gás ideal: relação de Poisson
com . Para monoatômico , , logo Outra forma útil da adiabática é , que usaremos para relacionar volumes entre pontos conectados por adiabáticas. - Entropia numa transformação reversível:
. Em uma isoterma reversível, . Em uma adiabática reversível .
Passo 4
Cálculo para a isoterma quente
(temperatura
, volume de
para
):
- Energia interna:
porque a temperatura é constante. - Trabalho realizado pelo gás:
Observação: se esse trabalho é positivo (expansão). - Calor absorvido:
- Variação de entropia:
Passo 5
Cálculo para a adiabática reversível
(expansão adiabática,
, volumes
):
- Calor trocado:
por definição de adiabática reversível. - Variação da energia interna (usar
): Como neste trecho, . - Trabalho realizado pelo gás:
Pela 1ª lei,. Assim Observação: esse trabalho é positivo (gás realiza trabalho enquanto sua energia interna diminui). - Variação da entropia:
porque processo adiabático reversível não troca entropia.
Também é útil a forma alternativa (equivalente) para trabalho adiabático:
pois para adiabática
é constante; essa expressão é consistente com a expressão em termos de temperaturas usando
.
Passo 6
Cálculo para a isoterma fria
(temperatura
, volume
):
- Energia interna:
pois temperatura constante em . - Trabalho realizado pelo gás:
Como normalmente nessa compressão isotérmica, e portanto (trabalho realizado pelo gás é negativo, isto é, trabalho é feito sobre o gás). - Calor trocado:
Como , esse é negativo: calor sai do gás para o reservatório frio. - Variação de entropia:
Passo 7
Cálculo para a adiabática reversível
(compressão adiabática,
, volumes
):
- Calor trocado:
- Variação da energia interna:
Aqui então . - Trabalho realizado pelo gás:
que é negativo (trabalho é realizado sobre o gás durante a compressão). - Variação de entropia:
Note que os trabalhos das duas adiabáticas se cancelam quando somados (
), porque suas
são opostas e
em ambas.
Passo 8
Relações entre volumes usando as adiabáticas e consequente simplificação para
,
e eficiência:
- Para uma adiabática reversível vale
const. Assim, entre e : Entre e : Dividindo as duas equações obtém-se portanto Esta relação é crucial porque implica - Usando essa igualdade, os calores nas isotermas relacionam-se por
- Entropias nas isotermas:
Portanto a variação total de entropia do gás ao longo do ciclo é zero, como esperado para um ciclo reversível:
Passo 9
Trabalho líquido do ciclo e eficiência:
- Trabalho líquido por ciclo
(trabalho total realizado pelo gás) é soma dos trabalhos nos quatro trechos. Como as adiabáticas se cancelam, fica Usando obtemos - Eficiência do ciclo (fração do calor absorvido que vira trabalho) definida por
. Com obtemos - Interpretação: a eficiência depende apenas das temperaturas dos reservatórios e não dos detalhes do gás. Para um ciclo de Carnot reversível entre duas temperaturas
e a eficiência máxima possível é . Isso significa que nenhum motor operando entre esses mesmos dois reservatórios (reversível ou irreversível) pode ter eficiência maior que a de Carnot; a eficiência de Carnot é o limite superior.
Passo 10
Resposta à pergunta (b) sobre o sentido dos processos para que o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo:
- Lembrete de convenção:
é trabalho realizado pelo gás. Se o enunciado pede que “o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo”, interpretando literalmente “trabalho realizado no gás” como trabalho sobre o gás , e sabendo que , então equivale a . Em outras palavras, pedir que o trabalho realizado no gás seja negativo é equivalente a pedir que o gás realize trabalho positivo sobre o meio exterior. - No diagrama
- isso ocorre quando o ciclo é percorrido no sentido horário (expansão isotérmica na isoterma quente, seguida de adiabática, compressão isotérmica fria, e adiabática de retorno). Portanto: - Sentido horário: gás realiza trabalho líquido positivo (
), logo . - Sentido anti-horário: trabalho líquido pelo gás é negativo (
), isto é, trabalho é realizado sobre o gás (ciclo invertido, aplicar energia para bombear calor).
- Sentido horário: gás realiza trabalho líquido positivo (
Resposta
(a) Diagrama
-
: ciclo formado por quatro trechos na ordem
(isoterma em
, expansão
),
(adiabática,
,
),
(isoterma em
, compressão
) e
(adiabática,
,
). A isoterma em
fica acima da isoterma em
. (O sentido horário corresponde a motor que fornece trabalho ao exterior.)
(b) Para que o trabalho realizado no gás durante um ciclo seja negativo (isto é, trabalho realizado sobre o gás negativo => o gás realiza trabalho positivo), o ciclo deve ser percorrido no sentido horário no diagrama
-
.
(c) Para cada processo (usando
trabalho realizado pelo gás,
número de mols,
constante dos gases,
):
-
(isoterma em , ):
-
(adiabática, , ):
-
(isoterma em , ):
-
(adiabática, , ):
Adicionalmente, usando as adiabáticas obtém-se
, o que leva a
.
(d) Eficiência:
Implicação: a eficiência depende somente das temperaturas dos reservatórios;
é a eficiência máxima (limite de Carnot) para máquinas operando entre as temperaturas
e
.