O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela passagem de ar quente sobre a sua superfície interna. Se o ar quente está a \mathrm{T}_{\infty, \mathrm{i}}=40^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de calor por convecção correspondente é de \mathrm{h}_{\mathrm{i}}=30 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right), quais são as temperaturas das superfícies interna e externa do vidro, que tem 4 mm de espessura, se a temperatura do ar ambiente externo for \mathrm{T}_{\infty, \mathrm{e}}= -10^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} \mathrm{o} \mathrm{coeficiente} \mathrm{convectivo} \mathrm{associado} \mathrm{for} \mathrm{h}_{\mathrm{e}}=65 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) ?

Passo 1

O problema pede: determinar as temperaturas das superfícies interna e externa do vidro (ou seja, T_{s,i} e T_{s,e}).\n\nDados fornecidos (vou listar tudo, com unidades):\n\n T_{\infty,i}=40^\circ\mathrm{C} (temperatura do ar quente interior)\n\n h_i=30\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} (coeficiente convectivo interior)\n\n T_{\infty,e}=-10^\circ\mathrm{C} (temperatura do ar exterior)\n\n h_e=65\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} (coeficiente convectivo exterior)\n\nEspessura do vidro: L=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m}\n\nObservação: o enunciado não informou a condutividade térmica do vidro k. Para poder calcular numericamente as temperaturas das superfícies, vou usar o valor típico da condutividade térmica do vidro comum: k=1{,}0\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Se você tiver outro valor de k, posso refazer os cálculos.\n\nA tarefa é retornar T_{s,i} e T_{s,e}.

Passo 2

Modelo físico e método (explicação didática passo a passo):\n\nQuando temos um vidro plano com convecção em ambas as faces em regime estacionário 1D, as resistências térmicas aparecem em série: resistência convectiva do lado interior, resistência por condução no vidro, e resistência convectiva do lado exterior. A analogia elétrica é útil: queda de temperatura = corrente térmica ( q'', fluxo de calor por unidade de área) vezes resistência térmica.\n\nAs resistências por unidade de área são:\n\nresistência convectiva interior: \displaystyle R_{c,i}=\frac{1}{h_i}\n\nresistência de condução no vidro: \displaystyle R_{cond}=\frac{L}{k}\n\nresistência convectiva exterior: \displaystyle R_{c,e}=\frac{1}{h_e}\n\nO fluxo de calor por unidade de área (positivo do interior para o exterior) é dado por:\n\n q''=\frac{T_{\infty,i}-T_{\infty,e}}{R_{c,i}+R_{cond}+R_{c,e}}\n\nExplicando variáveis: q'' tem unidade \mathrm{W/m^2}; T_{\infty,i} e T_{\infty,e} estão em graus Celsius (diferenças de temperatura em °C são equivalentes a K); h em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}; L em metros; k em \mathrm{W/(m\cdot K)}.\n\nDepois de obter q'', as temperaturas das superfícies obtêm-se pelas quedas térmicas convectiva e condutiva:\n\n T_{s,i}=T_{\infty,i}-\frac{q''}{h_i}\n\n T_{s,e}=T_{\infty,e}+\frac{q''}{h_e}\n\n(Observe os sinais: do lado interior o ar cede calor ao vidro, portanto a superfície interna está mais fria que T_{\infty,i}; do lado exterior a superfície está mais quente que o ar exterior.)

Passo 3

Calcular numericamente as resistências (usando k=1{,}0\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e L=0{,}004\\ \mathrm{m}):\n\n R_{c,i}=\frac{1}{h_i}=\frac{1}{30} \\ \mathrm{K\cdot m^2/W}=0{,}033333\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}\n\n R_{cond}=\frac{L}{k}=\frac{0{,}004}{1{,}0}=0{,}004\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}\n\n R_{c,e}=\frac{1}{h_e}=\frac{1}{65}=0{,}015384615\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}

Passo 4

Somar as resistências para obter a resistência térmica total por unidade de área:\n\n R_{tot}=R_{c,i}+R_{cond}+R_{c,e}=0{,}033333\;+\;0{,}004\;+\;0{,}015384615\n\n R_{tot}=0{,}0527179487\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}

Passo 5

Calcular o fluxo de calor por unidade de área \,q'':\n\nA diferença de temperatura entre os fluidos é \displaystyle T_{\infty,i}-T_{\infty,e}=40-(-10)=50^\circ\mathrm{C}.\n\n q''=\frac{50}{0{,}0527179487}=948{,}44\\ \mathrm{W/m^{2}}\quad(\text{aproximadamente})

Passo 6

Calcular a temperatura da superfície interna T_{s,i}:\n\n T_{s,i}=T_{\infty,i}-\frac{q''}{h_i}=40-\frac{948{,}44}{30}\n\n \frac{948{,}44}{30}=31{,}6147\n\n T_{s,i}=40-31{,}6147=8{,}3853^\circ\mathrm{C}\n\nArredondando razoavelmente: T_{s,i}\approx 8{,}39^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a temperatura da superfície externa T_{s,e}:\n\n T_{s,e}=T_{\infty,e}+\frac{q''}{h_e}=-10+\frac{948{,}44}{65}\n\n \frac{948{,}44}{65}=14{,}5906\n\n T_{s,e}=-10+14{,}5906=4{,}5906^\circ\mathrm{C}\n\nArredondando: T_{s,e}\approx 4{,}59^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Verificação rápida (controle de consistência):\n\nQueda de temperatura por condução através do vidro prevista por q''L/k:\n\n q''\frac{L}{k}=948{,}44\times 0{,}004=3{,}7938^\circ\mathrm{C}\n\nDiferença entre superfícies encontrada: T_{s,i}-T_{s,e}=8{,}3853-4{,}5906=3{,}7947^\circ\mathrm{C}, que coincide com q''L/k (pequena diferença de arredondamento). A soma das quedas convectivas e condutiva é 50^\circ\mathrm{C}, conforme esperado.

Resposta

T_{s,i}\approx 8{,}39^\circ\mathrm{C}\n T_{s,e}\approx 4{,}59^\circ\mathrm{C}

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