A equação descrevendo o movimento de um fluido em um tubo, quando o escoamento parte do repouso devido a um gradiente de pressão aplicado, é
\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}+v\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}\right)
Use a velocidade média \bar{V}, a queda de pressão \Delta p, o comprímento do tubo L, e o diámetro D, para tornar esta equação adimensional. Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam esse escoamento.

Passo 1

O enunciado dá a equação do escoamento em tubo (em coordenadas cilíndricas, dependência radial apenas)
\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+ \nu\!\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right),
onde u(x,r,t) é a componente axial da velocidade, \rho é a densidade do fluido e \nu é a viscosidade cinemática. O enunciado pede que eu torne essa equação adimensional usando as grandezas fornecidas: velocidade média \bar{V}, queda de pressão \Delta p, comprimento do tubo L e diâmetro D. O objetivo final é obter os grupos adimensionais que caracterizam o escoamento (ou seja, as combinações adimensionais de parâmetros físicos que aparecem na equação adimensional).
Informações fornecidas relevantes:
\text{escalas dadas: }\bar{V},\\ \Delta p,\\ L,\\ D.
Pergunta: produzir a versão adimensional da equação e identificar os grupos adimensionais que surgem (por exemplo, Reynolds, número de Euler etc., ou combinações equivalentes).

Passo 2

Escolha das escalas (escalamento das variáveis). Vou definir variáveis adimensionais (vou usar o superíndice ^* para a versão adimensional):
u = \bar{V}\,u^*,\qquad r = D\,r^*,\qquad x = L\,x^*,\qquad t = T\,t^*,\qquad p = \Delta p\,p^*.
Comentário sobre a escolha de T: preciso escolher uma escala de tempo T. Como o enunciado dá \bar{V} e D, uma escolha natural e simples é o tempo convectivo sobre a escala transversal:
T=\frac{D}{\bar{V}}.
Essa escolha usa apenas as grandezas fornecidas e leva a parâmetros clássicos (por exemplo, o número de Reynolds). (Observação: poderia escolher um tempo viscoso T\sim D^2/\nu e obter outros parâmetros adimensionais como número de Womersley; explicito essa alternativa mais tarde se quiseres.)

Passo 3

Agora vou calcular como cada termo da equação escala com as substituições acima. Primeiro escrevo as derivadas em termos das grandezas adimensionais.
Derivada temporal:
\frac{\partial u}{\partial t} = \bar{V}\,\frac{1}{T}\,\frac{\partial u^*}{\partial t^*}.
Com T=D/\bar{V} temos
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\bar{V}^2}{D}\,\frac{\partial u^*}{\partial t^*}.
Gradiente de pressão (direção x):
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} = -\frac{1}{\rho}\,\frac{\Delta p}{L}\,\frac{\partial p^*}{\partial x^*} = -\frac{\Delta p}{\rho L}\,\frac{\partial p^*}{\partial x^*}.
Termos viscosos (derivadas em r):
\frac{\partial^2 u}{\partial r^{2}} = \bar{V}\,\frac{1}{D^2}\,\frac{\partial^2 u^*}{\partial r^{*2}}, \qquad \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} = \bar{V}\,\frac{1}{D^2}\,\frac{1}{r^*}\frac{\partial u^*}{\partial r^*}.
Multiplicando por \nu
\nu\!\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right) = \nu\,\bar{V}\,\frac{1}{D^2}\left(\frac{\partial^{2} u^*}{\partial r^{*2}}+\frac{1}{r^*}\frac{\partial u^*}{\partial r^*}\right).

Passo 4

Substituo esses termos na equação original:
\frac{\bar{V}^2}{D}\,\frac{\partial u^*}{\partial t^*} = -\frac{\Delta p}{\rho L}\,\frac{\partial p^*}{\partial x^*} + \nu\,\bar{V}\,\frac{1}{D^2}\left(\frac{\partial^{2} u^*}{\partial r^{*2}}+\frac{1}{r^*}\frac{\partial u^*}{\partial r^*}\right).
Agora divido toda a equação pelo fator \bar{V}^2/D (essa é a escala do termo temporal à esquerda) para obter a equação adimensional:
\frac{\partial u^*}{\partial t^*} = -\underbrace{\frac{\Delta p\,D}{\rho\,L\,\bar{V}^2}}_{\Pi}\,\frac{\partial p^*}{\partial x^*} + \underbrace{\frac{\nu}{D\,\bar{V}}}_{1/\mathrm{Re}}\left(\frac{\partial^{2} u^*}{\partial r^{*2}}+\frac{1}{r^*}\frac{\partial u^*}{\partial r^*}\right).

Passo 5

Identificação dos grupos adimensionais que aparecem na equação:
Defino o número de Reynolds convencional com base em \bar{V} e D:
\mathrm{Re}=\frac{\bar{V}\,D}{\nu} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\nu}{D\bar{V}}=\frac{1}{\mathrm{Re}}.
Defino o parâmetro de pressão adimensional (uma forma do número de Euler multiplicado por D/L):
\Pi=\frac{\Delta p\,D}{\rho\,L\,\bar{V}^2}.
Observação física: \Pi mede a razão entre forças de pressão (escala \Delta p/L) e forças inerciais (escala \rho\bar{V}^2/D). Relação com número de Euler \mathrm{Eu}=\Delta p/(\rho\bar{V}^2):
\Pi = \frac{D}{L}\,\mathrm{Eu}.

Passo 6

Escrevo a equação adimensional de forma clara, usando os grupos definidos:
\frac{\partial u^*}{\partial t^*} = -\Pi\,\frac{\partial p^*}{\partial x^*} + \frac{1}{\mathrm{Re}}\left(\frac{\partial^{2} u^*}{\partial r^{*2}}+\frac{1}{r^*}\frac{\partial u^*}{\partial r^*}\right),
onde as variáveis adimensionais estão definidas por u=\bar{V}u^*, r=D r^*, x=L x^*, t=(D/\bar{V})t^*, p=\Delta p\,p^*.
Interpretação rápida e encorajamento: o escoamento é regido por dois números adimensionais principais aqui — \mathrm{Re} que expressa a competição entre inércia e viscosidade, e \Pi que expressa a intensidade do gradiente de pressão em relação às forças inerciais. Se quiser, posso também reescalar com T=D^2/\nu (tempo viscoso) e mostrar como surge o número de Womersley ou um número adimensional de tipo Strouhal; diz aí que eu faço essa versão alternativa.

Resposta

\frac{\partial u^*}{\partial t^*} = -\Pi\,\frac{\partial p^*}{\partial x^*} + \frac{1}{\mathrm{Re}}\left(\frac{\partial^{2} u^*}{\partial r^{*2}}+\frac{1}{r^*}\frac{\partial u^*}{\partial r^*}\right)
\mathrm{Re}=\frac{\bar{V}\,D}{\nu}
\Pi=\frac{\Delta p\,D}{\rho\,L\,\bar{V}^2}

Exercícios relacionados