Use a velocidade média \bar{V}, a queda de pressão \Delta p, o comprímento do tubo L, e o diámetro D, para tornar esta equação adimensional. Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam esse escoamento.
Passo 1
O enunciado dá a equação do escoamento em tubo (em coordenadas cilíndricas, dependência radial apenas)
onde u(x,r,t) é a componente axial da velocidade, \rho é a densidade do fluido e \nu é a viscosidade cinemática. O enunciado pede que eu torne essa equação adimensional usando as grandezas fornecidas: velocidade média \bar{V}, queda de pressão \Delta p, comprimento do tubo L e diâmetro D. O objetivo final é obter os grupos adimensionais que caracterizam o escoamento (ou seja, as combinações adimensionais de parâmetros físicos que aparecem na equação adimensional).
Informações fornecidas relevantes:
\text{escalas dadas: }\bar{V},\\ \Delta p,\\ L,\\ D.
Pergunta: produzir a versão adimensional da equação e identificar os grupos adimensionais que surgem (por exemplo, Reynolds, número de Euler etc., ou combinações equivalentes).
Passo 2
Escolha das escalas (escalamento das variáveis). Vou definir variáveis adimensionais (vou usar o superíndice ^* para a versão adimensional):
u = \bar{V}\,u^*,\qquad r = D\,r^*,\qquad x = L\,x^*,\qquad t = T\,t^*,\qquad p = \Delta p\,p^*.
Comentário sobre a escolha de T: preciso escolher uma escala de tempo T. Como o enunciado dá \bar{V} e D, uma escolha natural e simples é o tempo convectivo sobre a escala transversal:
T=\frac{D}{\bar{V}}.
Essa escolha usa apenas as grandezas fornecidas e leva a parâmetros clássicos (por exemplo, o número de Reynolds). (Observação: poderia escolher um tempo viscoso T\sim D^2/\nu e obter outros parâmetros adimensionais como número de Womersley; explicito essa alternativa mais tarde se quiseres.)
Passo 3
Agora vou calcular como cada termo da equação escala com as substituições acima. Primeiro escrevo as derivadas em termos das grandezas adimensionais.
Defino o parâmetro de pressão adimensional (uma forma do número de Euler multiplicado por D/L):
\Pi=\frac{\Delta p\,D}{\rho\,L\,\bar{V}^2}.
Observação física: \Pi mede a razão entre forças de pressão (escala \Delta p/L) e forças inerciais (escala \rho\bar{V}^2/D). Relação com número de Euler \mathrm{Eu}=\Delta p/(\rho\bar{V}^2):
\Pi = \frac{D}{L}\,\mathrm{Eu}.
Passo 6
Escrevo a equação adimensional de forma clara, usando os grupos definidos:
onde as variáveis adimensionais estão definidas por u=\bar{V}u^*, r=D r^*, x=L x^*, t=(D/\bar{V})t^*, p=\Delta p\,p^*.
Interpretação rápida e encorajamento: o escoamento é regido por dois números adimensionais principais aqui — \mathrm{Re} que expressa a competição entre inércia e viscosidade, e \Pi que expressa a intensidade do gradiente de pressão em relação às forças inerciais. Se quiser, posso também reescalar com T=D^2/\nu (tempo viscoso) e mostrar como surge o número de Womersley ou um número adimensional de tipo Strouhal; diz aí que eu faço essa versão alternativa.