Determine a potência transmitida pelo eixo de um automóvel quando o torque aplicado for de 200 N.m e o eixo girar a uma taxa de 4.000 rotações por minuto (rpm).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma resposta clara:
  • Torque aplicado no eixo: \tau = 200\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Taxa de rotação do eixo: n = 4\,000\\ \mathrm{rpm} (rotações por minuto).
  • O que se pede: determinar a potência transmitida pelo eixo (em unidades usuais, por exemplo \mathrm{W} ou \mathrm{kW}).

Passo 2

Vamos definir as variáveis que usaremos e explicar o que significam:
  • \tau é o torque, medido em \mathrm{N\cdot m}. É a “força de torção” aplicada ao eixo.
  • \omega é a velocidade angular, medida em \mathrm{rad/s}. Representa quão rápido o eixo gira em termos de ângulo por segundo.
  • P é a potência mecânica transmitida pelo eixo, medida em watts ( \mathrm{W}). Potência é a taxa de realização de trabalho (energia por unidade de tempo).

Passo 3

Princípio físico que relaciona essas quantidades:
  • A potência instantânea associada a um torque atuando num eixo em rotação é dada por
P=\tau\,\omega.
Explicação didática: o trabalho elementar realizado por um torque \tau ao girar um ângulo infinitesimal d\theta é dW=\tau\,d\theta. A potência é P=dW/dt=\tau\,(d\theta/dt)=\tau\,\omega. Portanto, para obter P precisamos do torque \tau e da velocidade angular \omega.

Passo 4

Converter a taxa de rotação em \mathrm{rpm} para velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
  • Primeiro transformar rotações por minuto em rotações por segundo:
n_{\text{(rev/s)}}=\frac{n_{\text{(rpm)}}}{60}=\frac{4\,000}{60}=\frac{200}{3}\\ \text{rev/s}.
  • Cada rotação completa corresponde a 2\pi radianos, logo
\omega = 2\pi\,n_{\text{(rev/s)}}=2\pi\cdot\frac{200}{3}=\frac{400\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Substituir \tau e \omega na fórmula P=\tau\,\omega:
P = 200\cdot\frac{400\pi}{3}=\frac{80\,000\pi}{3}\\ \mathrm{W}.
Isto é a expressão exata em \mathrm{W}.

Passo 6

Fazer a aproximação numérica para obter um valor prático (sem usar calculadora complexa; passo a passo):
  • \pi\approx 3{,}14159265.
  • Calcular \dfrac{80\,000}{3}=26\,666{,}666\ldots.
  • Multiplicar por \pi:
P \approx 26\,666{,}666\ldots \times 3{,}14159265 \approx 83\,775{,}80\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma típica:
P \approx 83{,}78\\ \mathrm{kW},
pois 1\\ \mathrm{kW}=1\,000\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Comentário prático e incentivo: portanto, um torque de \tau=200\\ \mathrm{N\cdot m} a 4\,000\\ \mathrm{rpm} corresponde a uma potência bastante significativa, cerca de \,84\\ \mathrm{kW}. Está indo bem — essa é uma conta padrão em mecânica: torque vezes velocidade angular dá potência. Na prova, basta lembrar da conversão \omega=2\pi\,({\rm rpm}/60) e aplicar P=\tau\omega.

Resposta

P \approx 8{,}3776\times10^{4}\\ \mathrm{W}
P \approx 83{,}78\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados