Determine a potência e o valor RMS (root-mean-square) dos sinais a seguir:
b) x(t)=D e^{j \omega_{0} t}

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=D e^{j \omega_{0} t},
onde D é uma constante (pode ser complexa ou real) e \omega_{0} é a frequência angular. O que se pede:
  • Determinar a potência média do sinal.
  • Determinar o valor RMS (root-mean-square) do sinal.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão analítica do sinal x(t).
  • D é constante (não depende de t).
  • O sinal é periódico em t (pois \exp(j\omega_0 t) é periódico).

Passo 2

Vamos escrever claramente as definições que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Potência média (para sinais de tempo contínuo): a potência média P de um sinal x(t) é a média temporal do quadrado do módulo do sinal:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^{2}\,dt.
Aqui |x(t)|^{2}=x(t)\,x^{*}(t) é o produto do sinal pela sua conjugada complexa, e a integração média ao longo de um intervalo simétrico e depois o limite T\to\infty dá a média no tempo.
  • Valor RMS: o valor RMS é a raiz quadrada da potência média:
\text{RMS}=\sqrt{P}.
Em palavras: RMS é “a raiz da média dos quadrados” do sinal — é uma medida do valor efetivo do sinal.

Passo 3

Calcular o módulo ao quadrado do sinal x(t). Primeiro escrevemos a conjugada complexa:
x^{*}(t)=D^{*} e^{-j \omega_{0} t},
onde D^{*} é o conjugado de D. Portanto
|x(t)|^{2}=x(t)\,x^{*}(t)=\bigl(D e^{j\omega_{0}t}\bigr)\bigl(D^{*} e^{-j\omega_{0}t}\bigr)=D D^{*}=|D|^{2}.
Observação didática: o termo exponencial cancela porque e^{j\omega_{0}t}e^{-j\omega_{0}t}=1. Então o módulo ao quadrado é uma constante no tempo e igual ao quadrado do módulo de D.

Passo 4

Calcular a potência média usando que |x(t)|^{2}=|D|^{2} (constante). Substituindo na fórmula da potência:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|D|^{2}\,dt =\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\left(|D|^{2}\cdot T\right)=|D|^{2}.
Explicação passo a passo: integrar uma constante |D|^{2} em um intervalo de comprimento T |D|^{2}T; dividir por T cancela o T; o limite é então |D|^{2}. Intuitivamente, o sinal gira no plano complexo mas tem amplitude constante |D|, então a potência média é apenas essa amplitude ao quadrado.

Passo 5

Calcular o RMS a partir da potência:
\text{RMS}=\sqrt{P}=\sqrt{|D|^{2}}=|D|.
Comentário intuitivo: o RMS mede a amplitude efetiva; para um senoide complexo de amplitude constante D, o RMS é simplesmente o módulo dessa amplitude.

Passo 6

Observações e exemplos práticos:
  • Se D for real e positivo, D= A então P=A^{2} e \text{RMS}=A.
  • Se D for real e possivelmente negativo, P=D^{2} e \text{RMS}=|D|.
  • Exemplo numérico: se D=3, então P=9 e \text{RMS}=3. Se D=2e^{j\pi/4}, então |D|=2, logo P=4 e \text{RMS}=2.

Resposta

P=|D|^{2}
\text{RMS}=|D|

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