Determine a potência e o valor RMS (root-mean-square) dos sinais a seguir:
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá o sinal
onde
é uma constante (pode ser complexa ou real) e
é a frequência angular. O que se pede:
- Determinar a potência média do sinal.
- Determinar o valor RMS (root-mean-square) do sinal.
Informações relevantes dadas:
- A expressão analítica do sinal
. -
é constante (não depende de ). - O sinal é periódico em
(pois é periódico).
Passo 2
Vamos escrever claramente as definições que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Potência média (para sinais de tempo contínuo): a potência média
de um sinal é a média temporal do quadrado do módulo do sinal:
Aqui
é o produto do sinal pela sua conjugada complexa, e a integração média ao longo de um intervalo simétrico e depois o limite
dá a média no tempo.
- Valor RMS: o valor RMS é a raiz quadrada da potência média:
Em palavras: RMS é “a raiz da média dos quadrados” do sinal — é uma medida do valor efetivo do sinal.
Passo 3
Calcular o módulo ao quadrado do sinal
. Primeiro escrevemos a conjugada complexa:
onde
é o conjugado de
. Portanto
Observação didática: o termo exponencial cancela porque
. Então o módulo ao quadrado é uma constante no tempo e igual ao quadrado do módulo de
.
Passo 4
Calcular a potência média usando que
(constante). Substituindo na fórmula da potência:
Explicação passo a passo: integrar uma constante
em um intervalo de comprimento
dá
; dividir por
cancela o
; o limite é então
. Intuitivamente, o sinal gira no plano complexo mas tem amplitude constante
, então a potência média é apenas essa amplitude ao quadrado.
Passo 5
Calcular o RMS a partir da potência:
Comentário intuitivo: o RMS mede a amplitude efetiva; para um senoide complexo de amplitude constante
, o RMS é simplesmente o módulo dessa amplitude.
Passo 6
Observações e exemplos práticos:
- Se
for real e positivo, então e . - Se
for real e possivelmente negativo, e . - Exemplo numérico: se
, então e . Se , então , logo e .