Determine a potência e o valor RMS (root-mean-square) dos sinais a seguir:
a) x(t)=C \cos \left(\omega_{0} t+\theta\right)

Passo 1

O enunciado dá o sinal periódico
x(t)=C\cos\!\big(\omega_{0}t+\theta\big)
e pede duas quantidades:
  • a potência média do sinal (potência no sentido de valor médio de x^2(t) ao longo do tempo);
  • o valor RMS (root-mean-square) do sinal.
Informações fornecidas (retiradas do enunciado):
  • amplitude: C (constante real);
  • pulsação: \omega_{0} (constante real; se \omega_{0}\neq0 o sinal é periódico com período T=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}});
  • fase: \theta (constante real).

Passo 2

Definições que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Potência média (para sinal periódicos): é o valor médio de x^2(t) num período. Ou seja,
P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x^{2}(t)\,dt,
onde T é o período do sinal.
  • Valor RMS: é a raiz quadrada da média de x^2(t) no período, isto é,
\mathrm{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x^{2}(t)\,dt}=\sqrt{P}.
Intuição rápida: RMS é o valor contínuo equivalente que produziria a mesma potência média que o sinal alternado.

Passo 3

Escrevemos x^{2}(t) de forma direta:
x^{2}(t)=C^{2}\cos^{2}\!\big(\omega_{0}t+\theta\big).
Para integrar \cos^{2} é útil usar a identidade trigonométrica (muito usada em integrais de quadrados de seno/cosseno):
\cos^{2}\varphi=\frac{1+\cos(2\varphi)}{2}.
Aplicando com \varphi=\omega_{0}t+\theta obtemos
x^{2}(t)=C^{2}\,\frac{1+\cos\big(2\omega_{0}t+2\theta\big)}{2}=\frac{C^{2}}{2}+\frac{C^{2}}{2}\cos\big(2\omega_{0}t+2\theta\big).

Passo 4

Agora calculamos a potência média usando a expressão anterior e integrando em um período T=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}} (assumindo \omega_{0}\neq0; veremos o caso \omega_{0}=0 depois):
P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left(\frac{C^{2}}{2}+\frac{C^{2}}{2}\cos\big(2\omega_{0}t+2\theta\big)\right)dt.
Separando termos:
P=\frac{1}{T}\left[\int_{0}^{T}\frac{C^{2}}{2}\,dt \;+\; \int_{0}^{T}\frac{C^{2}}{2}\cos\big(2\omega_{0}t+2\theta\big)\,dt\right].
A primeira integral é simples:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{C^{2}}{2}\,dt=\frac{1}{T}\cdot\frac{C^{2}}{2}\cdot T=\frac{C^{2}}{2}.
A segunda integral é a média de um cosseno cuja frequência é 2\omega_{0}. Calculando explicitamente:
\int_{0}^{T}\cos\big(2\omega_{0}t+2\theta\big)\,dt=\left.\frac{\sin\big(2\omega_{0}t+2\theta\big)}{2\omega_{0}}\right|_{0}^{T} =\frac{1}{2\omega_{0}}\big(\sin(2\omega_{0}T+2\theta)-\sin(2\theta)\big).
Mas 2\omega_{0}T=2\omega_{0}\cdot\frac{2\pi}{\omega_{0}}=4\pi, e \sin(2\theta+4\pi)=\sin(2\theta). Portanto a diferença é zero, logo a segunda integral vale zero. Assim
P=\frac{C^{2}}{2}.

Passo 5

Com a potência média obtida, o RMS é simplesmente a raiz quadrada de P:
\mathrm{RMS}=\sqrt{P}=\sqrt{\frac{C^{2}}{2}}=\frac{|C|}{\sqrt{2}}.
Observações importantes: o valor RMS é sempre não negativo, por isso aparece o valor absoluto |C|. Tanto P quanto \mathrm{RMS} não dependem de \theta (a fase) nem do tempo; dependem apenas do quadrado da amplitude C.

Passo 6

Caso especial \omega_{0}=0: então x(t)=C\cos\theta é uma constante. Nesse caso
P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}C^{2}\cos^{2}\theta\,dt=C^{2}\cos^{2}\theta,
e
\mathrm{RMS}=|C\cos\theta|.
Essa é apenas a situação degenerada em que a frequência é zero; para qualquer \omega_{0}\neq0 valem as fórmulas anteriores que são as mais usadas.

Resposta

Potência: \displaystyle P=\frac{C^{2}}{2}
RMS: \displaystyle \mathrm{RMS}=\frac{|C|}{\sqrt{2}}

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