Determine o potencial elétrico para as regiões , e . Em seguida determine o campo elétrico a partir do potencial. Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial de em função de .
Passo 1
Beleza, aqui o problema é esse: a gente tem uma casca esférica de raio interno e externo com densidade volumétrica de carga constante . Precisamos achar o potencial elétrico em cada faixa
, 2) e 3) ,
depois obter o campo elétrico radial a partir de
e, por fim, desenhar qualitativamente versus .
O que vamos usar?
Lei de Gauss para achar ;
integração de pra achar , com a condição ;
continuidade de em e ;
e a relação para conferir.
Passo 2
Calcular pela Lei de Gauss. Em simetria esférica,
– Para : não há carga interna, ⇒
– Para : a carga até é
logo
– Para : toda a carga da casca entra,
e
Passo 3
Agora achamos com , cuidando de integrar em pedaços.
Região :
Região : usamos
com . A integral dá
Logo, depois de arrumar os termos,
Região : como lá dentro, é constante e igual a . Usando a expressão de cima em :
Passo 4
Para conferir, basta derivar:
em ,
que coincide com .
em , .
Passo 5
Gráfico qualitativo de :
(1) para , ;
(2) entre e , cresce de 0 até
(3) para , cai suavemente.
Em desenho ASCII fica algo assim:
E_r
│
│ *← cai ~1/r^2
│ /
│ /
│ /
│ * ← cresce em a<r<b
│_____*__________ r
a b
Resposta
Potencial elétrico (tomando [V(\infty)=0)):
Campo elétrico radial:
Gráfico qualitativo:
– , cresce até , depois decai como .]