Determine o potencial elétrico para as regiões r<a, a<r<b e r>b. Em seguida determine o campo elétrico a partir do potencial. Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial de em função de r.

Passo 1

Beleza, aqui o problema é esse: a gente tem uma casca esférica de raio interno a e externo b com densidade volumétrica de carga constante rho. Precisamos achar o potencial elétrico V(r) em cada faixa
  1. r<a, 2) a<r<b e 3) r>b,
    depois obter o campo elétrico radial Er(r) a partir de
Er(r) = -dVdr,,
e, por fim, desenhar qualitativamente Er versus r.
O que vamos usar?
  • Lei de Gauss para achar Er(r);
  • integração de Er pra achar V(r), com a condição V(infty)=0;
  • continuidade de V(r) em r=a e r=b;
  • e a relação Er=-dV/dr para conferir.

Passo 2

Calcular Er(r) pela Lei de Gauss. Em simetria esférica,
PhiE = ! oint! E!cdot!d A = Er(r),4pi r^2 = Qrm encl(r)varepsilon0
– Para r<a: não há carga interna, Qrm encl=0
Er(r<a)=0
– Para a<r<b: a carga até r é
Qrm encl(r)=rhocdot4pi3l(r^3 - a^3r),
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Er(a<r<b) ;=;14pivarepsilon0,Qrm encl(r)r^2 =rho,(r^3 - a^3)3,varepsilon0,r^2
– Para r>b: toda a carga da casca entra,
Qrm tot=rho,4pi3(b^3 - a^3),
e
Er(r>b)=14pivarepsilon0,Qrm totr^2 =rho,(b^3 - a^3)3,varepsilon0,r^2

Passo 3

Agora achamos V(r)=-integralinfty^r Er(r'),dr' com V(infty)=0, cuidando de integrar em pedaços.
  1. Região r>b:
V(r)=-integralinfty^rQrm tot4pivarepsilon0,r'^2dr' =Qrm tot4pivarepsilon0,1r =rho,(b^3 - a^3)3,varepsilon0,r
  1. Região a<r<b: usamos
V(r)=V(b)-integralb^r Er(r'),dr',
com V(b)=rho(b^3 - a^3)/(3varepsilon0,b). A integral dá
integralb^rrho,(r'^3 - a^3)3varepsilon0,r'^2dr' =rho6varepsilon0l(r^2 - b^2 +2a^3l(tfrac1r-tfrac1br)r)
Logo, depois de arrumar os termos,
V(a<r<b) =rho6,varepsilon0l[,3b^2 - r^2 - tfrac2a^3rr]
  1. Região r<a: como E=0 lá dentro, V(r) é constante e igual a V(a). Usando a expressão de cima em r=a:
V(r<a)=V(a) =rho6varepsilon0l[3b^2 - a^2 -2a^2r] =rho,(b^2 - a^2)2,varepsilon0

Passo 4

Para conferir, basta derivar:
  • em a<r<b,
-ddrl[tfracrho6varepsilon0(3b^2 - r^2 -2a^3/r)r] =rho,(r^3 - a^3)3varepsilon0,r^2,
que coincide com Er.
  • em r>b, -!d/dr(rho(b^3-a^3)/(3varepsilon0r))=rho(b^3 - a^3)/(3varepsilon0r^2).

Passo 5

Gráfico qualitativo de Er(r):
(1) para r<a, Er=0;
(2) entre a e b, Er cresce de 0 até
Er(b)=rho,(b^3 - a^3)3varepsilon0,b^2;
(3) para r>b, Ersim1/r^2 cai suavemente.
Em desenho ASCII fica algo assim:
E_r
 │
 │          *← cai ~1/r^2
 │         / 
 │        /  
 │       /   
 │      *    ← cresce em a<r<b
 │_____*__________ r
     a    b

Resposta

Potencial elétrico (tomando [V(\infty)=0)):
Campo elétrico radial:
Gráfico qualitativo:
, cresce até , depois decai como .]

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