Uma carga está distribuída uniformemente através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio R. Determine o módulo do campo elétrico no interior do cilindro a uma distância r do eixo do cilindro (Expresse sua resposta em função da densidade volumétrica de carga rho )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma carga distribuída uniformemente em um cilindro infinitamente longo com raio R . Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo elétrico dentro desse cilindro, a uma distância r do eixo, em função da densidade volumétrica de carga rho .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que trata essa matéria. Estamos lidando com Eletrostática, especificamente com a determinação do campo elétrico gerado por distribuições de carga simétricas. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações de alta simetria.

Passo 3

A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada PhiE é igual à carga total Qenc dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo varepsilon0 :
PhiE = Qencvarepsilon0
O fluxo elétrico PhiE é calculado como a integral do campo elétrico E pela área A :
PhiE = oint E cdot dA

Passo 4

Como a carga está distribuída uniformemente e o cilindro é infinitamente longo, podemos aproveitar a simetria cilíndrica para escolher uma superfície gaussiana adequada. Vamos escolher um cilindro imaginário coaxial com o cilindro carregado, com raio r (onde r < R ) e comprimento L .

Passo 5

Devido à simetria, o campo elétrico E terá a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano e será perpendicular a ela. Nas tampas do cilindro gaussiano, o campo elétrico será paralelo à área, portanto, não contribui para o fluxo. Assim, o fluxo elétrico total será:
PhiE = E cdot (2pi r L)

Passo 6

Agora, vamos calcular a carga total Qenc dentro do cilindro gaussiano. Como a densidade volumétrica de carga é rho , a carga dentro do volume do cilindro gaussiano é:
Qenc = rho cdot Volume = rho cdot (pi r^2 L)

Passo 7

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
E cdot (2pi r L) = rho cdot (pi r^2 L)varepsilon0
Podemos simplificar a equação cancelando pi L de ambos os lados:
E cdot 2r = rho r^2varepsilon0

Passo 8

Isolando E , a expressão fica:
E = rho r2varepsilon0

Resposta

O módulo do campo elétrico no interior do cilindro a uma distância r do eixo é:
E(r) = rho , r2, varepsilon0

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