Uma carga está distribuída uniformemente através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio
. Determine o módulo do campo elétrico no interior do cilindro a uma distância
do eixo do cilindro (Expresse sua resposta em função da densidade volumétrica de carga
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma carga distribuída uniformemente em um cilindro infinitamente longo com raio
. Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo elétrico dentro desse cilindro, a uma distância
do eixo, em função da densidade volumétrica de carga
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que trata essa matéria. Estamos lidando com Eletrostática, especificamente com a determinação do campo elétrico gerado por distribuições de carga simétricas. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações de alta simetria.
Passo 3
A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada
é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
O fluxo elétrico
é calculado como a integral do campo elétrico
pela área
:
Passo 4
Como a carga está distribuída uniformemente e o cilindro é infinitamente longo, podemos aproveitar a simetria cilíndrica para escolher uma superfície gaussiana adequada. Vamos escolher um cilindro imaginário coaxial com o cilindro carregado, com raio
(onde
) e comprimento
.
Passo 5
Devido à simetria, o campo elétrico
terá a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano e será perpendicular a ela. Nas tampas do cilindro gaussiano, o campo elétrico será paralelo à área, portanto, não contribui para o fluxo. Assim, o fluxo elétrico total será:
Passo 6
Agora, vamos calcular a carga total
dentro do cilindro gaussiano. Como a densidade volumétrica de carga é
, a carga dentro do volume do cilindro gaussiano é:
Passo 7
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Podemos simplificar a equação cancelando
de ambos os lados:
Passo 8
Isolando
, a expressão fica:
Resposta
O módulo do campo elétrico no interior do cilindro a uma distância
do eixo é: