Seja uma esfera, de raio R , uniformemente carregada com carga total Q . Mostre que o potencial eletrostático no seu interior (
) é dado por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
- Dados:
- Uma esfera de raio
. - Carga total uniformemente distribuída no volume da esfera:
. - Constante do meio livre:
. - Ponto onde se quer o potencial: uma distância
do centro, com (interior da esfera).
- Uma esfera de raio
- Pergunta:
- Calcular o potencial eletrostático
para , adotando a convenção usual .
- Calcular o potencial eletrostático
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma simples e didática).
- Observação física e simetria: a esfera tem carga distribuída uniformemente e é esférica, então o campo elétrico é radial e depende apenas da distância ao centro. Isso permite usar superfícies gaussianas esféricas.
- Ferramentas que serão usadas:
- Lei de Gauss (para encontrar o campo elétrico
dentro e fora da esfera). - Definição de potencial eletrostático como integral do campo:
- Lei de Gauss (para encontrar o campo elétrico
- Raciocínio prático para a prova: primeiro achar
para (e também lembrar para para fazer a integral da origem até ), depois integrar o campo para obter .
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss para obter o campo elétrico.
-
Enunciado da Lei de Gauss em forma integral:onde
é a carga contida dentro da superfície fechada . -
Escolhe-se
como uma superfície esférica de raio centrada na esfera carregada. Por simetria, é radial e constante sobre a superfície, então Aquié a intensidade do campo na distância do centro e é a área da superfície esférica. -
Para
a carga interna é a fração volumétrica da carga total: -
Substituindo na Lei de Gauss:Isolando
: Aquiestá apontando radialmente para fora (vetor ), mas para a integração de potencial basta usar a componente radial. -
Comentário adicional útil: para referência, fora da esfera (
) o campo é o mesmo de uma carga pontual no centro:
Passo 4
Definição de potencial e preparação da integral.
- Definição usada: a diferença de potencial entre dois pontos
e é - Adota-se a convenção
. Assim - Como o campo é radial,
(com o sinal e limites tratados corretamente). Para ir de até dividimos a integral em duas partes: primeiro de até (onde se usa externo como carga pontual) e depois de até (onde se usa interno encontrado).
Passo 5
Calcular as integrais explicitamente.
-
Primeiro integral (de
até ) usando : Portanto. -
Segundo integral (de
até , usando ): Repare que comoo termo é negativo, e o resultado desta integral é positivo, como deve ser (o potencial dentro é maior que no infinito). -
Somando as duas partes:
Passo 6
Algebrar e simplificar para a forma final.
- Agrupando os termos:
- Colocando em fator conveniente:
Passo 7
Cheque rápido e dicas de prova.
- Checagem de limites:
- Em
obtém-se , que é consistente com o potencial externo contínuo na superfície. - Em
obtém-se .
- Em
- Dica prática para prova: para problemas esféricos uniformes, primeiro usar Gauss para achar
(fácil), depois integrar para obter fazendo os cuidados com os limites (dividir a integração em regiões internas/externas se necessário).