Determine o potencial em pontos ao longo do eixo de um anel circular uniformemente carregado de raio a e carga Q. O anel é suficientemente delgado para poder ser considerado como uma linha de carga.
R: k0 Q[x^2+a^2]^-1 / 2.

Passo 1

Beleza, aí vai o resumo do que temos: um anel fino de raio e carga total , distribuída uniformemente. Queremos achar o potencial elétrico em pontos que ficam sobre o eixo do anel, a uma distância do centro. Isso é parte de eletrostática, mais especificamente carga distribuída e potencial. Para resolver, vamos usar a definição de potencial de um elemento de carga e integração (superposição de infinitos pedacinhos de carga), além da geometria pra achar a distância de cada pedacinho até o ponto.

Passo 2

Primeiro, lembra que o potencial gerado por um pedacinho de carga dV = k0,dqr, a uma distância r = raiza^2 + x^2 é
onde . No nosso caso, todo ponto do anel está à mesma distância do ponto sobre o eixo: se o ponto está a do centro e o anel tem raio , então por geometria
Como a carga é uniforme, podemos escrever , mas como todo o anel tem comprimento e carga , a densidade linear é .

Passo 3

Agora, somamos (integral) todos os infinitos V = integral dV = integral k0,dqr :
V = k0,1raiza^2+x^2 integral dq
Como V = k0,Qraiza^2+x^2 é constante para todo o anel, podemos tirar e da integral:
E , a carga total. Então

Resposta

V(x) ;=; k0,Q,l[x^2+a^2r]^-1/2

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