Questão 3) A posição de uma partícula que executa um movimento harmônico simples é dada pela expressão x=4,0 cos (3,0 pi t+pi), onde x é dado em metros e t em segundos. Determine:
a) o período do movimento;
b) a amplitude do movimento;
c) a posição da partícula em t=0,25 s;
d) a velocidade inicial da partícula;
e) a aceleração máxima da partícula.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a posição de uma partícula em MHS é
x(t)=4,0cosl(3,0pi,t+pir)
com em metros e em segundos. Precisamos achar:
a) período do movimento;
b) amplitude;
c) posição em ,s;
d) velocidade inicial;
e) aceleração máxima.
Conteúdo: movimento harmônico simples (MHS). Vamos usar:
  • frequência angular extraída do coeficiente de ;
  • relação ;
  • amplitude é o coeficiente de ;
  • equação da velocidade ;
  • aceleração máxima .

Passo 2

Calcular o período omega = 3,0pi (rad/s), .
  1. Em MHS, a gente define T = 2piomega pela expressão dentro do cosseno: T = 2pi3pi = 23 s approx 0,667 s
  2. A relação entre período e é
  3. Substituindo:

Passo 3

Identificar a amplitude A = 4,0 m.
Na equação , o valor que multiplica é a amplitude.
Logo

Passo 4

Calcular omega t + varphi = 3pi,(0,25) + pi = 0,75pi + pi = 1,75pi em x(0,25)=4cos(1,75pi),s.
  1. Primeiro calcule o argumento do cosseno: x(0,25)=4cdotraiz22=2raiz2 mapprox2,83 m
  2. Então
  3. Lembre que e ,
    então
  4. Logo

Passo 5

Determinar a velocidade inicial v(t)=dxdt = -A,omega,sin(omega t+varphi).
  1. A fórmula geral é v(0)=-4cdot(3pi),sin(pi)=-12picdot0=0 m/s
  2. Em :

Passo 6

Calcular a aceleração máxima amax=A,omega^2 .
Em MHS a aceleração máxima é
amax=4,(3pi)^2=4cdot9pi^2=36pi^2approx36cdot9,87approx355,3 m/s^2
Substituindo e :

Resposta

a) ,s
b) ,m
c) ,m ( ,m)
d) ,m/s
e) ,m/s²

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