Se lim xn=x, prove que lim |xn|=|x|. Prove ou contra-exemplifique a recíproca desta afirmação.

Passo 1

Neste exercício vamos provar que, se lim xn = x, então lim |xn| = |x|. O conteúdo envolve definição de limite de sequência e a desigualdade triangular na forma l||a|-|b|r|<= |a-b|.

Passo 2

Mostramos a desigualdade fundamental. Para quaisquer reais xn e x, vale a desigualdade triangular aplicada a |xn| = |x + (xn - x)|. Dessa forma obtemos
l||xn|-|x|r|<= |xn - x|

Passo 3

Usando a definição de limite, dado varepsilon>0, existe N tal que para todo n>= N temos |xn - x|. Como
l||xn|-|x|r|<= |xn - x|
segue que lim |xn| = |x|.

Passo 4

Para analisar a recíproca (“se lim |xn| = |x|, então lim xn = x”), basta um contra-exemplo. Tome xn = (-1)^n e x = 1. Então para todo n tem-se |xn| = 1, logo lim |xn| = 1 = |x|, mas a sequência xn não converge, pois oscila entre -1 e 1.

Resposta

A implicação lim xn = ximplies lim |xn| = |x| é verdadeira. A recíproca é falsa, como mostra o contra-exemplo xn = (-1)^n.

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