Você consegue deduzir uma fórmula para o caso geral x^n-a^n, com n in N ?

Passo 1

O enunciado pede para deduzir uma fórmula geral que fatora x^n - a^n, com ninN. O conteúdo envolve fatoração de polinômios e soma de uma progressão geométrica (PG). Vamos usar a fórmula da soma de PG e propriedades algébricas.

Passo 2

Supondo aneq 0, reescrevemos x^n - a^n como múltiplo de uma diferença de potências normalizada:
x^n - a^n = a^nl(l(tfracxar)^n - 1r)
Definimos r = tfracxa.

Passo 3

Aplicamos a soma de uma PG para rneq 1:
r^n - 1 = (r - 1)sumj=0^n-1r^j
Substituindo em x^n - a^n temos
x^n - a^n = a^n,(r - 1)sumj=0^n-1r^j = (x - a)sumj=0^n-1x^n-1-j,a^j

Passo 4

Escrevendo a soma de forma expandida, a factoração geral fica
x^n - a^n = (x - a)l(x^n-1 + x^n-2a + cdots + a^n-1r)

Resposta

x^n - a^n = (x - a)l(x^n-1 + x^n-2a + cdots + a^n-1r)

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