Calcule os seguintes limites:
lim x 2 x^3+3 x^2-9 x-2x^3-x-6

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto 2 x^3+3x^2-9x-2x^3-x-6. O conteúdo é limites com indeterminação do tipo 0/0 e vamos usar fatoração de polinômios para resolver.

Passo 2

Primeiro, faço a substituição direta em cima e embaixo para ver se é indeterminado. No numerador, 2^3+3cdot2^2-9cdot2-2=8+12-18-2=0. No denominador, 2^3-2-6=8-2-6=0. Como deu 0/0, é indeterminado e precisamos fatorar.

Passo 3

Agora fatoro o numerador. A gente tenta dividir por x-2 (já que zerou em x=2). Usando divisão sintética ou o Teorema do Resto, obtemos:
x^3+3x^2-9x-2=(x-2)(x^2+5x+1)

Passo 4

Em seguida, fatoro o denominador do mesmo jeito, procurando o fator x-2. Fazendo a divisão por x-2, vem:
x^3-x-6=(x-2)(x^2+2x+3)

Passo 5

Com as duas fatorações, o limite vira
limxto2(x-2)(x^2+5x+1)(x-2)(x^2+2x+3)=limxto2x^2+5x+1x^2+2x+3
Agora já dá para substituir direto:
2^2+5cdot2+12^2+2cdot2+3=4+10+14+4+3=1511

Resposta

1511

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