Calcule a derivada das funções abaixo:
(e) ; f(x)=x+sen(x)x-cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=x+sin(x)x-cos(x). O conteúdo envolve derivação de quociente e precisamos usar as regras de derivada de sin(x) e cos(x).

Passo 2

Definimos as funções do numerador e denominador:
u(x)=x+sin(x), v(x)=x-cos(x)
Em seguida, calculamos suas derivadas usando que (x)'=1, (sin(x))'=cos(x) e (cos(x))'=-sin(x):
u'(x)=1+cos(x), v'(x)=1+sin(x)

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente, que diz:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u,,u',,v,,v' obtemos:
u'(x)v(x)=(1+cos x)(x-cos x), u(x)v'(x)=(x+sin x)(1+sin x)

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos o numerador:
(1+cos x)(x-cos x)=x-cos x+xcos x-cos^2x, (x+sin x)(1+sin x)=x+xsin x+sin x+sin^2x
Subtraindo as duas expressões e usando sin^2x+cos^2x=1, o numerador vira
xcos x - xsin x - cos x - sin x -1

Passo 5

Dividindo pelo quadrado do denominador, chegamos à forma final simplificada:
f'(x)=x(cos x-sin x)-l(sin x+cos x+1r)(x-cos x)^2

Resposta

f'(x)=x(cos x-sin x)-l(sin x+cos x+1r)(x-cos x)^2

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