Calcule a derivada das funções abaixo:
(i) ; f(x)=x^2 ln x+2 e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^2ln x+2e^x. O conteúdo envolve a regra do produto (para x^2ln x), a derivada do logaritmo natural ( ln x) e a derivada da função exponencial ( e^x).

Passo 2

Para derivar x^2ln x, usamos a regra do produto: definimos u=x^2 e v=ln x. Então u'=2x e v'=1/x. Pela regra do produto,
ddx(x^2ln x)=u'v+uv'=2xln x + x^2cdot1x=2xln x + x

Passo 3

A derivada de 2e^x vem da regra da constante multiplicativa:
ddx(2e^x)=2ddx(e^x)=2e^x

Passo 4

Agora somamos os resultados para obter a derivada de f(x):
f'(x)=2xln x + x + 2e^x

Resposta

f’(x)=2x\ln x + x + 2e^{x}

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