Determine
nos exercícios:
f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}, \quad x_{o}=4
f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}, \quad x_{o}=4
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede-se a derivada de
no ponto . - A função fornecida é
. - O ponto é
.
Passo 2
Escolha do método (e por quê):
- A expressão tem
. Uma forma simples é fazer a substituição para tornar a função mais simples e depois usar a regra da cadeia. Isso evita lidar diretamente com uma fração contendo uma raiz dentro das regras de derivação em . - Vamos então escrever
como função de e aplicar a regra da cadeia: .
Passo 3
Reescrever
em termos de
e calcular
:
- Definimos
. Então fica
- Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
com , então
- Aqui
e . Então e . Aplicando:
Passo 4
Calcular
(derivada da substituição):
- Lembrando que
. A regra do poder diz que . - Aplicando com
:
- Também podemos escrever isso em termos de
: , porque .
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia e simplificar a expressão de
:
- Pela regra da cadeia,
- Cancelando o
:
- Substituindo
de volta,
Passo 6
Avaliar
em
:
- Primeiro calcule
. - Substituindo em
: