Determine f^{\prime}\left(x_{o}\right) nos exercícios:
f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}, \quad x_{o}=4

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede-se a derivada de f no ponto x_{0}.
  • A função fornecida é f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}.
  • O ponto é x_{0}=4.

Passo 2

Escolha do método (e por quê):
  • A expressão tem \sqrt{x}. Uma forma simples é fazer a substituição u=\sqrt{x} para tornar a função mais simples e depois usar a regra da cadeia. Isso evita lidar diretamente com uma fração contendo uma raiz dentro das regras de derivação em x.
  • Vamos então escrever f como função de u e aplicar a regra da cadeia: f'(x)=\dfrac{df}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}.

Passo 3

Reescrever f em termos de u e calcular \dfrac{df}{du}:
  • Definimos u=\sqrt{x}. Então f fica
f(u)=\frac{u-1}{u+1}.
  • Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz: se g(u)=\dfrac{p(u)}{q(u)} com q(u)\neq0, então
g'(u)=\frac{p'(u)\,q(u)-p(u)\,q'(u)}{[q(u)]^{2}}.
  • Aqui p(u)=u-1 e q(u)=u+1. Então p'(u)=1 e q'(u)=1. Aplicando:
\frac{df}{du}=\frac{1\cdot(u+1)-(u-1)\cdot1}{(u+1)^{2}}=\frac{u+1-(u-1)}{(u+1)^{2}}=\frac{2}{(u+1)^{2}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{du}{dx} (derivada da substituição):
  • Lembrando que u=\sqrt{x}=x^{1/2}. A regra do poder diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Também podemos escrever isso em termos de u: \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{2u}, porque u=\sqrt{x}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e simplificar a expressão de f'(x):
  • Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{2}{(u+1)^{2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Cancelando o 2:
f'(x)=\frac{1}{(u+1)^{2}\sqrt{x}}.
  • Substituindo u=\sqrt{x} de volta,
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)^{2}}.

Passo 6

Avaliar f'(x) em x_{0}=4:
  • Primeiro calcule \sqrt{4}=2.
  • Substituindo em f'(x):
f'(4)=\frac{1}{\sqrt{4}\,(\sqrt{4}+1)^{2}}=\frac{1}{2\cdot(2+1)^{2}}=\frac{1}{2\cdot 9}=\frac{1}{18}.

Resposta

\dfrac{1}{18}

Exercícios relacionados