Encontre uma equação para a reta tangente
á curva
no ponto
.
f(x)=x+\frac{2}{x}, P_{0}(1,3) \
f(x)=x+\frac{2}{x}, P_{0}(1,3) \
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei estes dados do enunciado):
- Função:
. - Ponto onde queremos a reta tangente:
. - A fórmula fornecida para a reta tangente no ponto
é
O que o problema pede: encontrar a equação da reta tangente
à curva
no ponto
.
Passo 2
Entendendo a fórmula da reta tangente (o que cada símbolo significa):
-
é a função que descreve a curva. -
é a abscissa do ponto de tangência; aqui . -
é a ordenada do ponto na curva; aqui (confere que ). -
é a derivada de , que representa a taxa de variação instantânea de em relação a ; geometricamente é o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente. -
é a inclinação da reta tangente no ponto .
A ideia é: calcular, avaliar em para obter a inclinação, e então substituir tudo na fórmula da reta tangente.
Passo 3
Calcular
. Primeiro é prático reescrever a função usando potência:
Agora aplicamos regras básicas de derivação (linearidade e regra da potência):
- Derivada de
em relação a é . - Para
: a constante multiplica; pela regra da potência, . Aqui , então
Portanto
Escrevendo de volta em fração:
Passo 4
Avaliar a derivada no ponto
:
Isso significa que a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é
.
Passo 5
Verificar
(confirmação do ponto):
coincide com
, portanto o ponto dado está realmente sobre a curva.
Passo 6
Substituir os valores na fórmula da reta tangente:
(essa é a forma desenvolvida antes de simplificar).