Encontre uma equação para a reta tangente \left(l_{t}\right) á curva y=f(x) no ponto P_{o}\left(x_{o}, y_{o}\right).
f(x)=x+\frac{2}{x}, P_{0}(1,3) \
\begin{aligned} f_{t}: y=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) \\\ f(x)=x+\frac{2}{x} \\\ f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x^{2}} \\\ \end{array}\left\{\begin{array}{l} y=3-1(x-1) \\\ f^{\prime}(1)=1-2 \\\ f^{\prime}(1)=-1 \end{array}\right\}=4-x .

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei estes dados do enunciado):
  • Função: f(x)=x+\dfrac{2}{x}.
  • Ponto onde queremos a reta tangente: P_{0}\bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=\bigl(1,3\bigr).
  • A fórmula fornecida para a reta tangente no ponto x_{0} é
f_{t}:\; y = f\bigl(x_{0}\bigr) + f'\bigl(x_{0}\bigr)\bigl(x-x_{0}\bigr).
O que o problema pede: encontrar a equação da reta tangente \bigl(l_{t}\bigr) à curva y=f(x) no ponto P_{0}(1,3).

Passo 2

Entendendo a fórmula da reta tangente (o que cada símbolo significa):
  • f(x) é a função que descreve a curva.
  • x_{0} é a abscissa do ponto de tangência; aqui x_{0}=1.
  • f\bigl(x_{0}\bigr) é a ordenada do ponto na curva; aqui f(1)=3 (confere que y_{0}=3).
  • f'(x) é a derivada de f, que representa a taxa de variação instantânea de f em relação a x; geometricamente é o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente.
  • f'\bigl(x_{0}\bigr) é a inclinação da reta tangente no ponto x_{0}.
    A ideia é: calcular f'(x), avaliar em x_{0}=1 para obter a inclinação, e então substituir tudo na fórmula da reta tangente.

Passo 3

Calcular f'(x). Primeiro é prático reescrever a função usando potência:
f(x)=x+2x^{-1}.
Agora aplicamos regras básicas de derivação (linearidade e regra da potência):
  • Derivada de x em relação a x é 1.
  • Para 2x^{-1}: a constante 2 multiplica; pela regra da potência, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aqui n=-1, então
\dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{-1}\bigr)=2\cdot(-1)\,x^{-2}=-2x^{-2}.
Portanto
f'(x)=1-2x^{-2}.
Escrevendo de volta em fração:
f'(x)=1-\dfrac{2}{x^{2}}.

Passo 4

Avaliar a derivada no ponto x_{0}=1:
f'(1)=1-\dfrac{2}{1^{2}}=1-2=-1.
Isso significa que a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em P_{0} é -1.

Passo 5

Verificar f(x_{0}) (confirmação do ponto):
f(1)=1+\dfrac{2}{1}=3,
coincide com y_{0}=3, portanto o ponto dado está realmente sobre a curva.

Passo 6

Substituir os valores na fórmula da reta tangente:
y = f(1) + f'(1)\bigl(x-1\bigr)=3 + (-1)\bigl(x-1\bigr)=3 -x +1.
(essa é a forma desenvolvida antes de simplificar).

Resposta

y=4-x

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