Encontre uma equação para a reta tangente \left(l_{t}\right) á curva y=f(x) no ponto P_{o}\left(x_{o}, y_{o}\right).
f(x)=\sqrt{x+1}, \quad P_{o}(8,3);
\begin{aligned} & f(x)=\sqrt{x+1} \\\ & f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}\left\{\begin{array}{l} l_{t}: y=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) \\\ l_{t}: y=3+\frac{1}{6}(x-8) \\\ f_{t}(8)=\frac{1}{6} \\\ \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente as seguintes informações:
  • A função é f(x)=\sqrt{x+1}.
  • O ponto de tangência é P_{0}=(x_{0},y_{0})=(8,3).
  • O problema pede: encontrar uma equação da reta tangente \left(l_{t}\right) à curva y=f(x) no ponto P_{0}.
Informações adicionais relevantes (fornecidas no enunciado): a expressão da derivada aparece como f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} (vamos deduzir ela passo a passo para entender bem).

Passo 2

Entender o que precisamos usar:
  • A derivada f'(x) em um ponto x_{0} dá a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto. Em palavras: a derivada é a “taxa instantânea de variação” ou “o declive” da curva.
  • A fórmula ponto-declive (point-slope) para a reta tangente em P_{0} é
l_{t}:\quad y = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0}).
Aqui:
  • f(x_{0}) é a ordenada y_{0} do ponto de tangência;
  • f'(x_{0}) é a inclinação da reta no ponto;
  • x e y são as variáveis da equação da reta.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) de forma didática:
  • Escrever f(x) como potência:
f(x) = \sqrt{x+1} = (x+1)^{1/2}.
  • Aplicar a regra da cadeia + regra da potência: se g(u)=u^{1/2} então g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Com u=x+1 e u' = 1, obtemos
f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}\cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Explicando cada termo: o fator \tfrac{1}{2} vem da potência 1/2, (x+1)^{-1/2} indica dividir por \sqrt{x+1}, e multiplicamos pela derivada interna ( 1) da expressão x+1.

Passo 4

Avaliar f(x) e f'(x) no ponto x_{0}=8:
  • Primeiro verificar a função no ponto:
f(8)=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3,
que confirma a ordenada y_{0}=3 dada.
  • Agora a derivada no ponto:
f'(8)=\frac{1}{2\sqrt{8+1}}=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}.
Portanto a inclinação da reta tangente em P_{0} é \tfrac{1}{6}.

Passo 5

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-declive:
  • Substituindo f(8)=3, f'(8)=\tfrac{1}{6} e x_{0}=8 em
l_{t}:\quad y = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0}),
obtém-se
y = 3 + \frac{1}{6}(x - 8).
  • Se preferir a forma reduzida (pendente-intercepto), expandir e simplificar:
y = 3 + \frac{1}{6}x - \frac{8}{6} = \frac{1}{6}x + \left(3 - \frac{4}{3}\right) = \frac{1}{6}x + \frac{5}{3}.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova:
  • A reta tangente tem coeficiente angular \dfrac{1}{6} (bem suave, pouco inclinada).
  • Para questões parecidas: sempre reescrever radicais como potências, aplicar a regra da potência+cadeia para derivar, avaliar no ponto e usar a fórmula ponto-declive. Faz assim passo a passo e não erra.

Resposta

y = 3 + \dfrac{1}{6}(x - 8)
y = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{5}{3}

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