Encontre uma equação para a reta tangente \left(l_{t}\right) á curva y=f(x) no ponto P_{o}\left(x_{o}, y_{o}\right). f(x)=\sqrt{x+1}, \quad P_{o}(8,3);
O enunciado nos dá explicitamente as seguintes informações:
A função é f(x)=\sqrt{x+1}.
O ponto de tangência é P_{0}=(x_{0},y_{0})=(8,3).
O problema pede: encontrar uma equação da reta tangente \left(l_{t}\right) à curva y=f(x) no ponto P_{0}.
Informações adicionais relevantes (fornecidas no enunciado): a expressão da derivada aparece como f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} (vamos deduzir ela passo a passo para entender bem).
Passo 2
Entender o que precisamos usar:
A derivada f'(x) em um ponto x_{0} dá a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto. Em palavras: a derivada é a “taxa instantânea de variação” ou “o declive” da curva.
A fórmula ponto-declive (point-slope) para a reta tangente em P_{0} é
l_{t}:\quad y = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0}).
Aqui:
f(x_{0}) é a ordenada y_{0} do ponto de tangência;
f'(x_{0}) é a inclinação da reta no ponto;
x e y são as variáveis da equação da reta.
Passo 3
Calcular a derivada f'(x) de forma didática:
Escrever f(x) como potência:
f(x) = \sqrt{x+1} = (x+1)^{1/2}.
Aplicar a regra da cadeia + regra da potência: se g(u)=u^{1/2} então g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Com u=x+1 e u' = 1, obtemos
Explicando cada termo: o fator \tfrac{1}{2} vem da potência 1/2, (x+1)^{-1/2} indica dividir por \sqrt{x+1}, e multiplicamos pela derivada interna (1) da expressão x+1.
A reta tangente tem coeficiente angular \dfrac{1}{6} (bem suave, pouco inclinada).
Para questões parecidas: sempre reescrever radicais como potências, aplicar a regra da potência+cadeia para derivar, avaliar no ponto e usar a fórmula ponto-declive. Faz assim passo a passo e não erra.
Resposta
y = 3 + \dfrac{1}{6}(x - 8) y = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{5}{3}