Determine
nos exercícios:
f(x)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x+1}, \quad x_{o}=\frac{\pi}{3}
f(x)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x+1}, \quad x_{o}=\frac{\pi}{3}
Passo 1
O enunciado pede calcular a derivada de
no ponto
. As informações dadas são:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada é
.
Passo 2
Vamos identificar as funções que aparecem na razão (quociente). Definimos
Para usar a regra do quociente precisamos das derivadas de
e
. Lembrando que a derivada de
é
e a derivada de
é
, obtemos:
Passo 3
Aplicamos a regra do quociente: se
então
Substituindo
temos
Passo 4
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo:
Usando a identidade trigonométrica
obtemos
Portanto o numerador fica
e
Passo 5
Observe que
, então há cancelamento entre fator no numerador e um quadrado no denominador:
Essa é a forma simples e geral da derivada.
Passo 6
Agora avaliamos em
. Primeiro calculemos
nesse ponto:
Substituindo em
:
Passo 7
Fazemos a operação com frações para simplificar:
Se desejar racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por
: