Determine f^{\prime}\left(x_{o}\right) nos exercícios:
f(x)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x+1}, \quad x_{o}=\frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada de f no ponto x_0. As informações dadas são:
  • A função é f(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x+1}.
  • O ponto onde queremos a derivada é x_{0}=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Vamos identificar as funções que aparecem na razão (quociente). Definimos
u(x)=\cos x,\qquad v(x)=\sin x+1.
Para usar a regra do quociente precisamos das derivadas de u e v. Lembrando que a derivada de \cos x é -\sin x e a derivada de \sin x é \cos x, obtemos:
u'(x)=-\sin x,\qquad v'(x)=\cos x.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Substituindo u,u',v,v' temos
f'(x)=\frac{(-\sin x)(\sin x+1)-(\cos x)(\cos x)}{(\sin x+1)^{2}}.

Passo 4

Agora vamos simplificar o numerador passo a passo:
(-\sin x)(\sin x+1)-\cos^{2}x=-\sin^{2}x-\sin x-\cos^{2}x.
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 obtemos
-\sin^{2}x-\cos^{2}x=-1.
Portanto o numerador fica -1-\sin x e
f'(x)=\frac{-1-\sin x}{(\sin x+1)^{2}}.

Passo 5

Observe que -1-\sin x=-(1+\sin x), então há cancelamento entre fator no numerador e um quadrado no denominador:
f'(x)=\frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^{2}}=-\frac{1}{1+\sin x}.
Essa é a forma simples e geral da derivada.

Passo 6

Agora avaliamos em x_{0}=\dfrac{\pi}{3}. Primeiro calculemos \sin nesse ponto:
\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em f'(x):
f'\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}.

Passo 7

Fazemos a operação com frações para simplificar:
1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}, \qquad -\frac{1}{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}}=-\frac{2}{2+\sqrt{3}}.
Se desejar racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por 2-\sqrt{3}:
-\frac{2}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=-2(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}-4.

Resposta

2\sqrt{3}-4

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