Seja
definida por
. Sabendo que
é derivável, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e informa que
é diferenciável. A pergunta explícita é: mostrar que
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
e o contradomínio
garante que
é invertível ali, portanto
é a inversa de
nesse intervalo.
Passo 2
Traduzimos a relação de inversa: escrever
é equivalente a escrever
Isto é verdade porque a função
restringida a
é bijetora sobre
, então sua inversa é exatamente
.
Passo 3
Para diferenciar implicitamente, precisamos da derivada de
em função de
. Vamos obter essa derivada usando a definição
e a regra do quociente. Pela regra do quociente, se
, então
Aplicando com
e
, obtemos
Como
, isto simplifica para
Também é útil a identidade trigonométrica equivalente
que segue de
e da identidade pitagórica.
Passo 4
Agora diferenciamos implicitamente a igualdade
com respeito a
. O lado esquerdo dá
. Para o lado direito usamos a regra da cadeia: derivada de
em relação a
é
. Assim
Isolando
obtemos
Passo 5
Agora expressamos
em termos de
. Usamos a identidade
e lembramos que
(da relação inversa). Substituindo,
Passo 6
Comentários finais e intuição: a derivada existe para todo
porque
sempre, então
é diferenciável em
e é sempre crescente (derivada positiva). Isso confirma que a fórmula está bem definida para qualquer
.