Seja f: \mathbb{R} \rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) definida por f(x)=\operatorname{arctg}(x). Sabendo que y=f(x) é derivável, mostre que y^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) definida por f(x)=\operatorname{arctg}(x) e informa que y=f(x) é diferenciável. A pergunta explícita é: mostrar que y'=\frac{1}{1+x^{2}}. Informações relevantes extraídas do enunciado: y=\operatorname{arctg}(x) e o contradomínio \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) garante que \tan é invertível ali, portanto \operatorname{arctg} é a inversa de \tan nesse intervalo.

Passo 2

Traduzimos a relação de inversa: escrever y=\operatorname{arctg}(x) é equivalente a escrever
x=\tan(y).
Isto é verdade porque a função \tan restringida a \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) é bijetora sobre \mathbb{R}, então sua inversa é exatamente \operatorname{arctg}.

Passo 3

Para diferenciar implicitamente, precisamos da derivada de \tan(u) em função de u. Vamos obter essa derivada usando a definição \tan(u)=\dfrac{\sin(u)}{\cos(u)} e a regra do quociente. Pela regra do quociente, se g(u)=\dfrac{p(u)}{q(u)}, então
g'(u)=\frac{p'(u)q(u)-p(u)q'(u)}{q(u)^{2}}.
Aplicando com p(u)=\sin(u) e q(u)=\cos(u), obtemos
\frac{d}{du}\tan(u)=\frac{\cos(u)\cos(u)-\sin(u)(-\sin(u))}{\cos^{2}(u)}=\frac{\cos^{2}(u)+\sin^{2}(u)}{\cos^{2}(u)}.
Como \cos^{2}(u)+\sin^{2}(u)=1, isto simplifica para
\frac{d}{du}\tan(u)=\frac{1}{\cos^{2}(u)}=\operatorname{sec}^{2}(u).
Também é útil a identidade trigonométrica equivalente
\operatorname{sec}^{2}(u)=1+\tan^{2}(u),
que segue de \operatorname{sec}^{2}(u)=\dfrac{1}{\cos^{2}(u)} e da identidade pitagórica.

Passo 4

Agora diferenciamos implicitamente a igualdade x=\tan(y) com respeito a x. O lado esquerdo dá 1. Para o lado direito usamos a regra da cadeia: derivada de \tan(y) em relação a x é \dfrac{d}{dy}\tan(y)\cdot \dfrac{dy}{dx}. Assim
1=\operatorname{sec}^{2}(y)\cdot y'.
Isolando y' obtemos
y'=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}(y)}=\cos^{2}(y).

Passo 5

Agora expressamos y' em termos de x. Usamos a identidade \operatorname{sec}^{2}(y)=1+\tan^{2}(y) e lembramos que \tan(y)=x (da relação inversa). Substituindo,
y'=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}(y)}=\frac{1}{1+\tan^{2}(y)}=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 6

Comentários finais e intuição: a derivada existe para todo x porque 1+x^{2}>0 sempre, então \operatorname{arctg} é diferenciável em \mathbb{R} e é sempre crescente (derivada positiva). Isso confirma que a fórmula está bem definida para qualquer x\in\mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{1}{1+x^{2}}

Exercícios relacionados