Determine f^prime, f^prime prime e f^prime prime prime nos seguintes casos:
f(x)=2 x^4+8 x+raiz7

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 2x^4 + 8x + raiz7
e pede as derivadas f', f'' e f'''.
Vamos usar as regras básicas de diferenciação:
  1. Regra do polinômio (power rule):
    ddxx^n = n,x^n-1.
  2. Regra da constante:
    ddxC = 0.
  3. Regra da soma e da constante multiplicativa: a derivada de soma é soma das derivadas, e ddx[k,g(x)] = k,g'(x).

Passo 2

Calcular f'(x).
Aplicando termo a termo:
  • Para 2x^4, usando power rule e constante multiplicativa: ddxl(2x^4r) = 2 cdot 4x^3 = 8x^3
  • Para 8x, é uma constante vezes x, então ddx(8x) = 8
  • Para raiz7, constante, temos ddxl(raiz7r) = 0
Portanto,
f'(x) = 8x^3 + 8

Passo 3

Calcular f''(x) derivando f'(x)=8x^3+8.
  • Para 8x^3: ddx(8x^3) = 8 cdot 3x^2 = 24x^2
  • Para a constante 8: ddx(8) = 0
Logo,
f''(x) = 24x^2

Passo 4

Calcular f'''(x) derivando f''(x)=24x^2.
Usando power rule:
ddx(24x^2) = 24 cdot 2x = 48x
Então,
f'''(x) = 48x

Resposta

f'(x) = 8x^3 + 8
f''(x) = 24x^2
f'''(x) = 48x

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